《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

9. 若$(y - 5a)^2 = y^2 + 10y + 25b$，则$b$的值为(C)

A.$-2$
B.$2$
C.$1$
D.$-1$

答案： 9.C

10. 已知$mn = 2$，则$(m + n)^2 - (m - n)^2$的值是$\quad$8

答案： 10.8

11. （2024·乐山）已知$a - b = 3$，$ab = 10$，则$a^2 + b^2 = \quad$29

答案： 11.29

12. 如图，在长为$3m + 2n$，宽为$3m - 2n$的长方形铁片上，挖去边长为$2(m - n)$的小正方形铁片，则剩余部分的面积为$\quad$5m^{2}+8mn - 8n^{2}

答案： 12.$5m^{2}+8mn - 8n^{2}$

13. 计算：
（1）$(ab - 1)(-ab + 1)$
（2）$(x + y)(y - x)(x^2 - y^2)$

答案： 13.解：
(1)原式=$-(ab - 1)(ab - 1)=-(ab - 1)^{2}=-(a^{2}b^{2}-2ab + 1)=-a^{2}b^{2}+2ab - 1$.
(2)原式=$(y^{2}-x^{2})(x^{2}-y^{2})=-(x^{2}-y^{2})^{2}=-(x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4})=-x^{4}+2x^{2}y^{2}-y^{4}$.

14. 已知多项式$A = (x + 2)^2 - (x - 1)(2 + x) - 3$
（1）化简多项式$A$
（2）若$(x + 1)^2 - x^2 = -3$，求$A$的值

答案： 14.解：
(1)$A=x^{2}+4x + 4-(2x+x^{2}-2-x)-3=x^{2}+4x + 4-(x^{2}+x - 2)-3=x^{2}+4x + 4-x^{2}-x + 2-3=3x + 3$.
(2)$\because(x + 1)^{2}-x^{2}=-3$,即$x^{2}+2x + 1-x^{2}=-3$,$\therefore2x + 1=-3$,$\therefore x=-2$.当$x=-2$时,$A=3×(-2)+3=-3$.

15. 一个底面是正方形的长方体，高为$6cm$，底面正方形的边长为$5cm$。如果它的高不变，底面正方形的边长增加了$a cm$，那么它的体积增加了多少？

答案： 15.解：$(5 + a)^{2}-6×5^{2}=6(25 + 10a + a^{2})-6×25=6×25+60a+6a^{2}-6×25=(60a + 6a^{2})cm^{2}$.答：它的体积增加了$(60a + 6a^{2})cm^{2}$.

16. 我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式。
例如：由图1可得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

（1）写出图2所表示的数学等式：$\quad$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac
（2）利用上述结论，解决下列问题：已知$a + b + c = 11$，$bc + ac + ab = 38$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值

答案： 16.解：
(1)$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$
(2)由
(1)可得$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-(2ab + 2bc + 2ac)=(a + b + c)^{2}-2(ab + bc + ac)=11^{2}-2×38=45$.