《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图,P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点.求证:PM=PN.

【拓展设问1】OM+ON的值是否发生变化?请说明理由.
【拓展设问2】四边形PMON的面积是否发生变化?请说明理由.

答案： 证明：过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∵∠PEO=∠PFO=90°.
∴∠OPE+∠EOP=90°，∠OPF+FOP=90°.
∴∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°，即∠EPF+∠AOB=180°.
∵MPN+AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN.
∴∠EPM=∠FPN.
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF.在△PEM和△PFN中，$\begin{cases} \angle EPM=\angle FPN,\\PE=PF,\\ \angle PEM=\angle PFN. \end{cases}$
∴△PEM≌△PFN(ASA).
∴PM=PN.
【拓展设问1】解：OM+ON的值不变.理由：
∵△PEM≌△PFN，
∴ME=NF.易证△EPO≌△FPO，
∴OE=OF.
∴OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ON=OE+OF=2OE=定值.
【拓展设问2】解：四边形PMON的面积不变.理由：△PEM≌△PFN，
∴S_{\triangle PEM}=S_{\triangle PFN}.
∴S_{四边形PMON}=S_{四边形PEOF}=定值.

2. 如图所示,已知AC//BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上,请你探究线段AB与线段AC,BD之间的数量关系.
(1)用等式表示线段AB与线段AC,BD之间的数量关系:AC+BD=AB.
(2)请对第(1)问中的数量关系进行证明.

答案： 2.
(1)AC+BD=AB
(2)证明：在AB上截取AF=AC，连接EF.
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAE.又
∵AE=AE，AF=AC，
∴△CAE≌△FAE(SAS).
∴∠C=∠AFE.
∵AC//BD，
∴∠C+∠D=180°.∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠D=∠EFB.
∵BE平分∠DBA，
∴∠EBD=∠EBF.又
∵∠D=∠EFB，EB=EB，
∴△EBD≌△EBF(AAS).
∴BD=BF.
∴AB=AF+BF=AC+BD.