《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

13. 当 $n$为自然数时,$(n + 1)^{2}-(n - 3)^{2}$一定能被下列哪个数整除 (D)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： D

14. (2024·南充期末)已知 $a,b,c$为 $\triangle ABC$的三边长,且满足 $a^{2}-b^{2}=ac - bc$,则 $\triangle ABC$的形状是等腰三角形.

答案： 等腰

15. (2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数 $N$能否表示为 $x^{2}-y^{2}$($x,y$均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下($n$为正整数):

按上表规律,回答下列问题:
（ⅰ）$24=$_______.
（ⅱ）$4n=$_______.
(2)兴趣小组还猜测:像 $2,6,10,14\cdots$这些形如 $4n - 2$($n$为正整数)的正整数 $N$不能表示为 $x^{2}-y^{2}$($x,y$均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设 $4n - 2=x^{2}-y^{2}$,其中 $x,y$均为自然数.分下列三种情形分析:
①若 $x,y$均为偶数,设 $x = 2k,y = 2m$,其中 $k,m$均为自然数.
则 $x^{2}-y^{2}=(2k)^{2}-(2m)^{2}=4(k^{2}-m^{2})$为 4 的倍数.
而 $4n - 2$不是 4 的倍数,矛盾.
故 $x,y$不可能均为偶数.
②若 $x,y$均为奇数,设 $x = 2k + 1,y = 2m +11$,其中 $k,m$均为自然数.
则 $x^{2}-y^{2}=(2k + 1)^{2}-(2m + 1)^{2}=$_______为 4 的倍数.
而 $4n - 2$不是 4 的倍数,矛盾.
故 $x,y$不可能均为奇数.
③若 $x,y$一个是奇数,一个是偶数,则 $x^{2}-y^{2}$为奇数.
而 $4n - 2$是偶数,矛盾.
故 $x,y$不可能一个是奇数,一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.

答案： $(1)（ⅰ）7^2-5^2 （ⅱ）(n+1)^2-(n-1)^2 (2)1 4(k^3-m^3+k-m)$

16. (2024·泸州江阳区期末)1637 年,笛卡尔(R. Descartes,1596 - 1650)在其《几何学》中首次应用待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下:
分解因式:$x^{3}+x^{2}+3x - 5$.
解:观察可知,当 $x = 1$时,原式 $=0$.
∴原式可分解为 $x - 1$与另一个整式的积.
设另一个整式为 $x^{2}+bx + c$.
则 $x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+bx + c)$.
$\because(x - 1)(x^{2}+bx + c)=x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$,
$\therefore x^{3}+x^{2}+3x - 5=x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$.
$\because$等式两边 $x$同次幂的系数相等,
$\therefore\begin{cases}b - 1 = 1,\\c - b = 3,\\-c = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 5.\end{cases}$
$\therefore x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+2x + 5)$.
根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)根据以上材料的方法,分解因式 $x^{3}+2x^{2}-3$:观察可知,当 $x=$1时,原式 $=0$,所以原式可分解为x-1与另一个整式的积.设另一个整式为 $x^{2}+bx + c$,则 $b=$3,$c=$3.
(2)已知多项式 $x^{3}+ax + 1$($a$为常数)有一个因式是 $x + 1$,求另一个因式以及 $a$的值.下面是小明同学根据以上材料的方法,解此题的部分过程,请帮小明完成他的解答过程.
解:设另一个因式为 $x^{2}+bx + c$.
则 $x^{3}+ax + 1=(x + 1)(x^{2}+bx + c)$.
……
(3)已知二次三项式 $2x^{2}+3x - k$($k$为常数)有一个因式是 $x + 4$,则另一个因式为2x-5,$k$的值为20.

答案：
(1)1 x-1 3 3
(2)解：设另一个因式为$x^2+bx+c.$则$x^3+ax+1=(x+1)(x^2+bx+c).$
∵$(x+1)(x^2+bx+c)=x^3+(b+1)x^2+(b+c)x+c,$
∴$x^3+ax+1=x^3+(b+1)x^2+(b+c)x+c.$
∴$\begin{cases}b+1=0,\\b+c=a,\\c=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0,\\b=-1,\\c=1.\end{cases} (3)2x-5 20$