《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 先约分，再求值：$\frac{2x + 4y}{x^2 + 4xy + 4y^2}$，其中$x = 1$，$y = -2$.

答案： $\frac{2}{x + 2y}$，当$x = 1$，$y = -2$时，原式$= -\frac{2}{3}$

2. 已知$\frac{x}{y}=2$，求$\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$的值.

答案： 3

3. 已知$a:b:c = 2:3:5$，求$\frac{b^2 + c^2}{a^2}$的值.

答案： $\frac{17}{2}$

4. 已知$m^2 - 3m + 2 = 0$，求$\frac{2025m}{m^2 - 2m + 2}$的值.

答案： 2025

【例】已知$x + \frac{1}{x}=3$，试求：
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$的值.
(2) $x - \frac{1}{x}$的值.
解：(1) $\because x + \frac{1}{x}=3$，
$\therefore (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 +$2$+\frac{1}{x^2}=$9.
$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2}=$7.
(2) $\because x^2 + \frac{1}{x^2}=$7，
$\therefore (x - \frac{1}{x})^2=$x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}=5.
$\therefore x - \frac{1}{x}=$\pm\sqrt{5}.
方法指导：(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}=(x\pm\frac{1}{x})^2\mp2$；
(2) $x^4 + \frac{1}{x^4}=(x^2\pm\frac{1}{x^2})^2\mp2$；
(3) $(x + \frac{1}{x})^2 - (x - \frac{1}{x})^2 = 4$.

答案：
(1)2 9 7
(2)7 $x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$ 5 $\pm\sqrt{5}$

1. 已知$x^2 - 5x + 1 = 0$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值为23.

答案： 23

2. (教材P145新增习题T12变式)若$x - \frac{1}{x}=4$，则$\frac{3x^2}{x^4 - 7x^2 + 1}=$(A)

A.$\frac{3}{11}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{3}{5}$

答案： A

3. 已知$x + \frac{1}{x}=\frac{13}{6}$且$0 ＜ x ＜ 1$，求$x^2 - \frac{1}{x^2}$的值.

答案： $-\frac{65}{36}$