《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

8. 如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有(D)

A.$1$ 处
B.$2$ 处
C.$3$ 处
D.$4$ 处

答案： D

9. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图，一把直尺压住射线 $OB$，另一把直尺压住射线 $OA$ 并且与第一把直尺相交于点 $P$，小明说：“射线 $OP$ 就是$\angle BOA$的平分线。”他这样做的依据是(A)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确

答案： A

10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，$BA$ 和 $CD$ 的延长线相交于点 $E$。若存在点 $P$，使得$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PCD}$，则满足此条件的点 $P$(D)

A.有且只有 $1$ 个
B.有且只有 $2$ 个
C.组成$\angle E$的平分线(点 $E$ 除外)
D.组成$\angle E$及其外角的平分线所在的直线(点 $E$ 除外)

答案： D

11. 如图，$AB// CD$，点 $P$ 到 $AB$，$BC$，$CD$ 的距离都相等，则$\angle P=$90°。

答案： 90°

12. 如图，$O$ 是$\triangle ABC$内一点，且点 $O$ 到$\triangle ABC$三边 $AB$，$BC$，$CA$ 的距离 $OF = OD = OE$。若$\angle BAC = 80^{\circ}$，则$\angle BOC=$130°。

答案： 130°

13. 新考向 真实情境 如图，铁路 $OA$ 和铁路 $OB$ 相交于点 $O$ 处，河道 $AB$ 与铁路分别相交于点 $A$ 处和点 $B$ 处。若在河岸上建一座水厂 $M$，要求 $M$ 到铁路 $OA$，$OB$ 的距离相等，则该水厂 $M$ 应建在图中的什么位置？请在图中标出点 $M$ 的位置。

答案： 根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
因为水厂$M$到铁路$OA$，$OB$的距离相等，所以点$M$在$\angle AOB$的平分线上。
又因为水厂$M$建在河岸上，即点$M$在直线$AB$上。
所以点$M$是$\angle AOB$的平分线与直线$AB$的交点。
结论：作$\angle AOB$的平分线，与$AB$交于点$M$，点$M$即为所求位置。（在图中标出交点$M$）

14. 如图，已知 $C$ 为射线 $AD$ 上一点，$\angle A=\angle B$，$PA = PB$。求证：$CP$ 平分$\angle BCD$。

答案： 证明：过点$P$作$PE\perp BC$于点$E$，$PF\perp AD$于点$F$，则$\angle BEP = \angle AFP = 90^{\circ}$.在$\triangle BEP$和$\triangle AFP$中，$\begin{cases} \angle BEP = \angle AFP \\ \angle B = \angle A \\ PB = PA \end{cases}$，$\therefore\triangle BEP\cong\triangle AFP$ $(AAS).\therefore PE = PF$.又$\because PE\perp BC$，$PF\perp AD$，$\therefore CP$平分$\angle BCD$.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$，$\angle EAC$的平分线 $BP$，$AP$ 交于点 $P$，延长 $BA$，$BC$，$PM\perp BE$，$PN\perp BF$，垂足分别为 $M$，$N$，则下列结论：①$CP$平分$\angle ACF$；②$\angle ABC + 2\angle APC = 180^{\circ}$；③$\angle ACB = 2\angle APB$；④$S_{\triangle PAC}=S_{\triangle MAP}+S_{\triangle NCP}$。其中正确的个数是(D)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： D