《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

4. (2024·广元) 先化简，再求值：$\frac{a}{a - b} ÷ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a - b}{a + b}$，其中 $a$，$b$ 满足 $b - 2a = 0$.

答案： 4.解：原式=$\frac{a}{a - b} - \frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{a + b} - \frac{a}{a^{2}b^{2}} = \frac{a - b}{a + b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a - b - b}{a + b}$。$\because b - 2a = 0$，$\therefore b = 2a$。$\therefore$原式=$\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2}{3}$。

5. 先化简，再求值：$(\frac{y - x}{x + y})^2 \cdot \frac{x + y}{x^2 - 4xy + 4y^2} ÷ (\frac{x - y}{x - 2y})^2$，其中 $|x - 4| + (y - 9)^2 = 0$.

答案： 5.解：原式=$\frac{(x - y)^{2}}{(x + y)^{2}} - \frac{(x + y)(x - 2y)}{(x - 2y)^{2}} = \frac{(x - 2y)^{2}}{(x - y)^{3}} = \frac{1}{x + y}$。$\because \vert x - 4\vert + (y - 9)^{2} = 0$，$\therefore x - 4 = 0,y - 9 = 0$。$\therefore x = 4,y = 9$。$\therefore$原式=$\frac{1}{4 + 9} = \frac{1}{13}$。

6. (2024·广安) 先化简：$(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 1}$，再从 $-2$，$0$，$1$，$2$ 中选取一个适合的数代入求值.

答案： 6.解：原式=$(\frac{a^{2} - 1}{a - 1} - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a - 1}{a^{2} + 4a + 4} = \frac{a^{2} - 4}{a - 1} ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1} = \frac{a - 2}{a + 2}$。由题意，得$a \neq 1$且$a \neq - 2$。当$a = 0$时，原式=$\frac{0 - 2}{0 + 2} = - 1$；当$a = 2$时，原式=$\frac{2 - 2}{2 + 2} = 0$。

7. (2023·烟台) 先化简，再求值：$\frac{a^2 - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$，其中 $a$ 是使不等式 $\frac{a - 1}{2} \leq 1$ 成立的正整数.

答案： 7.解：原式=$\frac{(a - 3)^{2}}{a - 2} - \frac{4 - a^{2} + 5}{a - 2} = \frac{(a - 3)^{2}}{a - 2} - \frac{2 - a}{(3 - a)(3 + a)} = \frac{(a - 3)^{2}}{a - 2} = \frac{a - 2}{2}$。解$\frac{a - 1}{2} \leq 1$，得$a \leq 3$。$\because a$是使不等式$\frac{a - 1}{2} \leq 1$成立的正整数，且$a - 2 \neq 0,a - 3 \neq 0,a + 3 \neq 0$，$\therefore a \neq 2,3, - 3$。$\therefore a = 1$。$\therefore$原式=$\frac{1 - 3}{1 + 3} = - \frac{1}{2}$。

8. 先化简，再求值：$(\frac{9}{m + 3} + m - 3) ÷ \frac{m^3 - 2m^2}{m^2 - 4m + 4}$，其中 $m$ 是两边长分别为 $2$ 和 $3$ 的三角形第三边的长，且 $m$ 是整数.

答案： 8.解：原式=$\frac{9 + (m + 3)(m - 3)}{m + 3} - \frac{m^{2}(m - 2)}{(m - 2)^{2}} = \frac{9 + m^{2} - 9}{m + 3} - \frac{(m - 2)^{2}}{m^{2}(m - 2)} = \frac{m^{2}}{m + 3} - \frac{m - 2}{m^{2}} = \frac{m^{3} - (m - 2)(m + 3)}{m^{2}(m + 3)} = \frac{m^{2}}{m + 3} - \frac{m - 2}{m^{2}}$。$\because m$是两边长分别为$2$和$3$的三角形第三边的长，$\therefore 3 - 2 ＜ m ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ m ＜ 5$。$\because m$为整数，$\therefore m = 2$或$m = 3$或$m = 4$。由分式有意义的条件可知，$m \neq - 3$且$m \neq 0$且$m \neq 2$。$\therefore m = 3$或$m = 4$。当$m = 3$时，原式=$\frac{3 - 2}{3 + 3} = \frac{1}{6}$；当$m = 4$时，原式=$\frac{4 - 2}{4 + 3} = \frac{2}{7}$。