《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

10. 试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ ★ = \frac{2}{a + b}$被小颖同学不小心滴上墨汁，则被墨汁遮住部分★的式子为(A)

A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{4a}{a^2 - b^2}$

答案： A

11. 若$a^2 - 2a - 15 = 0$，则式子$(a - \frac{4a - 4}{a}) \cdot \frac{a^2}{a - 2}$的值是15.

答案： 11.15

12. (2024·达州)先化简：$(\frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 - 4}$，再从$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值.

答案： 12.解：原式$=\frac{x(x + 2) - x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x - x^2 + 2x}{(x + 2)(x - 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)} = \frac{4}{x + 1}.$
∵x - 2 ≠ 0且x ≠ 0且x + 2 ≠ 0且x ≠ 0且x + 1 ≠ 0，
∴x ≠ ±2且x ≠ 0且x ≠ -1.
∴x = 1.当x = 1时，原式$=\frac{4}{1 + 1} = 2.$

13. 新考向 推理能力 观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} × \frac{0}{2} = 1$；
第2个等式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = 1$；
第3个等式：$\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} × \frac{2}{4} = 1$；
第4个等式：$\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} × \frac{3}{5} = 1$；
第5个等式：$\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} × \frac{4}{6} = 1$；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1) 写出第6个等式：\frac{1}{6} + \frac{5}{7} + \frac{1}{6} × \frac{5}{7} = 1.
(2) 写出你猜想的第$n$个等式：\frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n + 1} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n + 1} = 1($n$为正整数)，并证明.

答案： $13.(1)\frac{1}{6} + \frac{5}{7} + \frac{1}{6} × \frac{5}{7} = 1 (2)\frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n + 1} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n + 1 + n(n - 1) + n - 1}{n(n + 1)} = 1 = $右边，
∴原等式成立.

1. 已知$a^2 - a + 1 = 2$，则$\frac{2}{a^2 - a} + a - a^2$的值为1.

答案： 1.1

2. 已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 6$，则$\frac{a - 3ab + b}{a + 12ab + b}$的值为\frac{1}{6}.

答案： $2.\frac{1}{6}$

3. 已知$a^2 + 2a - 3 = 0$，则$(2a - \frac{12a}{a + 2}) ÷ \frac{a - 4}{a^2 + 4a + 4}$的值为6.

答案： 3.6

4. 若$m + n = 1$，则式子$(\frac{2m + n}{m^2 - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^2 - n^2)$的值为3.

答案： 4.3

5. 已知$a ＞ b ＞ 0$，且$a^2 + b^2 = 3ab$，则$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 ÷ (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$的值是-\sqrt{5}.

答案： $5.-\sqrt{5}$