《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

9. 下面是小名同学计算 $ x ÷ (x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} $ 的过程：
解：$ x ÷ (x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} $
$ = x ÷ \frac{x - 1}{x - 1} \cdots \cdots $ 第一步
$ = x ÷ 1 \cdots \cdots $ 第二步
$ = x. \cdots \cdots $ 第三步
小名同学的求解是否有错误？如有错误，是从第几步开始出错的？并写出正确的解答过程.

答案： 有错误，是从第一步开始出错的，正确的解答过程如下：$x ÷ (x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}=x\cdot\frac{1}{x - 1}\cdot\frac{1}{x - 1}=\frac{x}{(x - 1)^{2}}$

10. 如果 $ (\frac{a^{3}}{b^{2}})^{2} ÷ (\frac{a}{b^{3}})^{2} = 4 $，那么 $ a^{8}b^{4} = $(A)

A.16
B.19
C.12
D.8

答案： A

11. 计算：
（1）$ \frac{4x^{2} - 4xy + y^{2}}{2x - y} ÷ (4x^{2} - y^{2}) \cdot \frac{1}{2x + y} $.
（2）$ (\frac{a - b}{ab})^{2} ÷ (-\frac{b - a}{a})^{3} \cdot (a - b) $.
（3）$ \frac{a + 2}{a^{2} - 2a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 4a + 4}{a + 1} ÷ \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 1} $.
（4）$ (-\frac{b}{2a})^{2} ÷ (\frac{b}{a}) \cdot (-\frac{3b}{4a})^{3} \cdot (\frac{4a}{3b})^{2} $.

答案： （1）原式=$\frac{(2x - y)^{2}}{2x - y}\cdot\frac{1}{(2x + y)(2x - y)}\cdot\frac{1}{2x + y}=\frac{1}{(2x + y)^{2}}$；（2）原式=$\frac{(a - b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{(a - b)^{3}}\cdot(a - b)=\frac{a}{b^{2}}$；（3）原式=$\frac{a + 2}{(a - 1)^{2}}\cdot\frac{(a - 2)^{2}}{a + 1}\cdot\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a + 2)(a - 2)}=\frac{a - 2}{a - 1}$；（4）原式=$\frac{b^{2}}{4a^{2}}\cdot\frac{a}{b}\cdot(-\frac{27b^{3}}{64a^{3}})\cdot\frac{16a^{2}}{9b^{2}}=-\frac{3b^{2}}{16a^{2}}$

12. （教材 P151 新增习题 T5 变式）先化简，再求值：$ (-\frac{2ab^{2}}{a + b})^{3} ÷ (\frac{ab^{3}}{a^{2} - b^{2}})^{2} \cdot [\frac{1}{2(a - b)}]^{2} $，其中 $ a = -\frac{1}{2} $，$ b = \frac{2}{3} $.

答案： 原式=$-\frac{(2ab^{2})^{3}}{(a + b)^{3}}\cdot\frac{(a^{2}-b^{2})^{2}}{(ab^{3})^{2}}\cdot\frac{1}{4(a - b)^{2}}=-\frac{8a^{3}b^{6}}{(a + b)^{3}}\cdot\frac{(a + b)^{2}(a - b)^{2}}{a^{2}b^{6}}\cdot\frac{1}{4(a - b)^{2}}=-\frac{2a}{a + b}$.当$a=-\frac{1}{2},b=\frac{2}{3}$时，原式=$-\frac{2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=-\frac{1}{\frac{1}{6}}=6$

13. 当 $ x $ 取何值时，式子 $ \frac{2x - 6}{x^{2} - 4x + 4} ÷ (x + 3) \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{3 - x} $ 的值为正数？

答案： 原式=$\frac{2(x - 3)}{(x - 2)^{2}}\cdot\frac{1}{x + 3}\cdot\frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 3)}=\frac{2}{x - 2}$.因为原式的值为正数，所以$x - 2＞0$，即$x＞2$，又因为分母不能为$0$，所以$x\neq2$，$x\neq\pm3$，所以$x$的取值范围是$x＞2$且$x\neq3$