《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 计算：
(1) $(1 - \frac{1}{x}) ÷ \frac{2x - 2}{x^2}$.
(2) $\frac{2a}{a + 1} - \frac{2a - 4}{a^2 - 1} ÷ \frac{a - 2}{a^2 - 2a + 1}$.
(3) (2024·德州) $1 - \frac{m^2 - 3m}{m^2 - 9} ÷ \frac{m + 1}{m + 3}$.
(4) $(m + 2 + \frac{1}{m}) \cdot \frac{m}{m + 1}$.
(5) $(\frac{a - b}{ab})^2 \cdot (\frac{-a}{b - a})^3 ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}$.
(6) $\frac{2 - x}{x - 1} ÷ (x + 1 - \frac{3}{x - 1})$.

答案： 1.解：
(1)原式=$\frac{x - 1}{x} - \frac{x^{2}}{2(x - 1)} = \frac{x}{2(x - 1)} - \frac{2}{a + 1} = \frac{(a - 1)^{2}}{a - 2} - \frac{2a}{a + 1} = 1 - \frac{a - 2}{a + 1} = \frac{a + 1 - (a - 2)}{a + 1} = \frac{3}{a + 1}$。
(2)原式=$\frac{2a}{a + 1} - \frac{2(a - 2)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{2(a - 1) - 2}{2} = \frac{m + 1 - 1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$。
(3)原式=$1 - \frac{m(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)} = \frac{m + 3}{m + 3} - \frac{m}{m + 1} = \frac{m^{2} + 2m + 1}{m} = \frac{(m + 1)^{2}}{m} = \frac{m}{m + 1}$。
(4)原式=$\frac{m}{m + 1} = \frac{(a - b)^{2}}{m} = \frac{a(a + b)}{b^{2}} = \frac{a^{2} + ab}{b^{2}}$。
(5)原式=$\frac{a^{3}}{(a - b)^{3}} \cdot (a + b)(a - b) = \frac{2 - x}{x - 1} - \frac{x^{2} - 4}{x - 1} = \frac{2 - x - (x + 2)(x - 2)}{x - 1} = \frac{2 - x - x^{2} + 4}{x - 1} = \frac{-x^{2} - x + 6}{x - 1} = - \frac{x^{2} + x - 6}{x - 1} = - \frac{(x + 3)(x - 2)}{x - 1} = - \frac{x + 2}{1}$。
(6)原式=$\frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x} = \frac{x - 2 + 3}{x} = \frac{x + 1}{x}$。

2. (2024·湖南) 先化简，再求值：$\frac{x^2 - 4}{x^2} \cdot \frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x}$，其中 $x = 3$.

答案： 2.解：原式=$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x^{2}} + \frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x} = \frac{x - 2}{x} + \frac{3}{x} = \frac{x + 1}{x}$。当$x = 3$时，原式=$\frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$。

3. 先化简，再求值：$\frac{x^2}{x - 1} ÷ \frac{x}{x^2 - 1} - x$，其中 $x = -\sqrt{5}$.

答案： 3.解：原式=$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{(x + 1)(x - 1)}{x} = x(x + 1) - x = x^{2} + x - x = x^{2}$。当$x = - \sqrt{5}$时，原式=$(- \sqrt{5})^{2} = 5$。