《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

1. 探究活动：
(1) 探究规律：
$15^{2}=15×15=225=(1×2)×100+25$；
$25^{2}=25×25=625=(2×3)×100+25$；
$35^{2}=35×35=1225=(3×4)×100+25$；
$45^{2}=$45×45 = 2025 = (4×5)×100 + 25；
……
(2) 猜想规律：$\overline{a5}^{2}=$(填序号). (注：$\overline{a5}$表示十位上数字是 a，个位上数字是 5 的两位数，$\overline{a5}^{2}$表示此两位数的平方)
①$100a^{2}+a+25$；②$100a(a+1)+25$；③$100a(a - 1)+25$.
(3) 推理说明：$\overline{a5}^{2}$是 25 的倍数.

答案： 1.解：
(1)45×45 = 2025 = (4×5)×100 + 25
(2)
(3)
∵$a 5^{2}=100a(a + 1)+25 = 100a^{2}+100a + 25 = 25(4a^{2}+4a + 1)=25(2a + 1)^{2}$，
∴$a 5^{2}$是25的倍数

2. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分. 而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了. 有一种用“分解因式法”产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式. 例如：将多项式 $ x(x^{2}-y^{2}) - 2y(x^{2}-y^{2}) $ 分解因式的结果为 $ (x - y)(x + y)(x - 2y) $，当 $ x = 16 $，$ y = 2 $ 时，$ x - y = 14 $，$ x + y = 18 $，$ x - 2y = 12 $，此时可以得到 6 个六位数的数字密码：141812；141218；181412；181214；121418；121814.
(1) 根据上述方法，当 $ x = 25 $，$ y = 2 $ 时，将多项式 $ x^{3} - 9xy^{2} $ 分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)
(2) 小敏同学设计的多项式为 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $，根据上述方法，当 $ a = 14 $，$ b = 2 $ 时，写出将多项式 $ a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4} $ 分解因式后形成的八位数的数字密码. (写出一个即可)
(3) 自己写一个多项式，并用上述方法生成一个数字密码.

答案： 2.解：
(1)$x^{3}-9xy^{2}=x(x^{2}-9y^{2})=x(x - 3y)(x + 3y)$．当$x = 25$，$y = 2$时，$x - 3y = 19$，$x + 3y = 31$．$\therefore$可得数字密码是251931，253119，192531．（答案不唯一）
(2)$2a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}$．当$a = 14$，$b = 2$时，$a + 2b = 18$，$a - 2b = 10$．八位数的数字密码为1818010．（答案不唯一）
(3)答案不唯一，例如：$m^{3}-2m^{2}n + mn^{2}=m(m^{2}-2mn + n^{2})=m(m - n)^{2}$．当$m = 16$，$n = 1$时，$m - n = 15$，六位数的数字密码为161515．