《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

9. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC$的垂直平分线$DE$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，$CD$平分$\angle ACB$，$AD = 5$，$BD =$\frac {5}{2}。

答案： $\frac {5}{2}$

10. 如图，$\angle AOB = 60^{\circ}$，点$P$在边$OA$上，$OP = 12$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM = PN$。若$MN = 2$，则$OM =$5。

答案： 5

11. 高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点$A$，$B$之间的距离为$10cm$，双翼的边缘$AC = BD = 54cm$，且与闸机侧立面夹角$\angle ACP = \angle BDQ = 30^{\circ}$。
一名旅客携带如图2所示的长方体行李箱进站（单位：$cm$），当双翼收回闸机箱内时，通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机。

答案： 解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F.
∵∠ACE=30°,∠BDF=30°,
∴$AE=\frac {1}{2}AC=27 cm，$$BF=\frac {1}{2}BD=27 cm.$当双翼收回闸机箱内时，闸机入口宽度为AE+AB+BF=27+10+27=64(cm).
∵60＜64，
∴该旅客的行李箱可以通过闸机.

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 3cm$，点$D$从点$A$以$1cm/s$的速度向点$C$运动，同时点$E$从点$C$以$2cm/s$的速度向点$B$运动，运动时间为$t s$。
(1)当$t =$1时，$\triangle DEC$为等边三角形。
(2)当$t$为何值时，$\triangle DEC$为直角三角形？

答案：
(1)1
(2)在△ABC中，
∵∠A=90°,∠B=30°,∠C=90°-30°=60°.由题意，得AD=t cm，CE=2t cm，
∴CD=(3-t)cm.①当∠DEC为直角时，$∠EDC=30°.CE=\frac {1}{2}CD，$即$2t=\frac {1}{2}(3-t)，$解得$t=\frac {3}{5}；$②当∠EDC为直角时，$∠DEC=30°.CD=\frac {1}{2}CE，$即$3-t=\frac {1}{2}·2t，$解得$t=\frac {3}{2}.$综上所述，当$t=\frac {3}{5}$或$t=\frac {3}{2}$时，△DEC为直角三角形.

1. 如图，在$\triangle ABC$中，若$AB = AC = 8$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$S_{\triangle ABC} =$16。

答案： 16

2. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD = 4$，$BC = 1$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 120^{\circ}$，则$CD$的长为2。

答案： 2