《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

12. 分解因式：
(1)$-7m^{3}+14m^{2}n-7mn^{2}$.
(2)$25x^{2}(a - b)+36y^{2}(b - a)$.
(3)$(x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}-(-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}$.

答案： 解：
(1)原式$=-7m(m^{2}-2mn + n^{2})=-7m(m - n)^{2}$.
(2)原式$=25x^{2}(a - b)-36y^{2}(a - b)=(a - b)(25x^{2}-36y^{2})=(a - b)(5x + 6y)(5x - 6y)$.
(3)原式$=(x^{2}-y^{2}+z^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})(x^{2}-y^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}-z^{2})=(2z^{2}-2y^{2})\cdot 2x^{2}=4x^{2}(z - y)(z + y)$.

13. 新考向 过程性学习 下面是某同学对多项式 $(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$ 进行因式分解的过程：
解：设 $x^{2}-4x = y$.
则原式 $=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C(填字母).
A. 提公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将 $y$ 用所设的含 $x$ 的式子代换，得到因式分解的最后结果. 这个结果是否分解到最后？答：不是(填“是”或“不是”). 如果不是，直接写出最后的结果：(x - 2)^{4}.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$ 进行因式分解.

答案：
(1)C
(2)不是 $(x - 2)^{4}$
(3)设$x^{2}-2x = a$.则原式$=a(a + 2)+1=a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}=(x^{2}-2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$.

微专题 4 利用“十字相乘法”分解因式
【阅读理解】 用“十字相乘法”分解因式 $3x^{2}-x - 2$：
(1)二次项系数 $3 = 1×3$；
(2)常数项 $-2 = -1×2 = 1×(-2)$，验算：“交叉相乘之和”；

① $1×2 + 3×(-1) = -1$
② $1×(-1) + 3×2 = 5$
③ $1×(-2) + 3×1 = 1$
④ $1×1 + 3×(-2) = -5$
(3)发现①“交叉相乘之和”的结果 $1×2 + 3×(-1) = -1$，等于一次项系数 $-1$，即 $(x - 1)(3x + 2)=3x^{2}-3x + 2x - 2 = 3x^{2}-x - 2$，则 $3x^{2}-x - 2 = (x - 1)(3x + 2)$. 像这样，通过十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫“十字相乘法”.
【问题解决】 分解因式：
(1)$x^{2}+5x + 4=$(x + 1)(x + 4).
(2)$x^{2}-6x + 5=$(x - 1)(x - 5).
(3)$x^{2}+7x - 8=$(x + 8)(x - 1).
(4)$x^{2}-6x - 27=$(x - 9)(x + 3).
【拓展训练】 分解因式：
(1)$2x^{2}+3x + 1=$(2x + 1)(x + 1).

答案： $(x + 1)(x + 4)$
@@$(x - 1)(x - 5)$
@@$(x + 8)(x - 1)$
@@$(x - 9)(x + 3)$
@@$(2x + 1)(x + 1)$

(2)$3x^{2}-5x + 2=$(x - 1)(3x - 2).

答案： $(x - 1)(3x - 2)$