《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

10. 新考向 真实情境 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆 $CD$ 与支杆 $BC$，$CD = BC$ 且 $\angle BCE = 120^{\circ}$. 若 $CD$ 的长度为 $50cm$，则此时 $B$，$D$ 两点之间的距离为(C)

A.$40cm$
B.$45cm$
C.$50cm$
D.$55cm$
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答案： 10.C

11. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，点 $D$，$E$，$F$ 分别在 $AB$，$BC$，$AC$ 上. 若 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle DFE = 80^{\circ}$，则 $\angle EDF=$(D)

A.$60^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 11.D

12. 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板与直线 $l_1$，$l_2$ 的位置关系如图所示，已知 $l_1// l_2$，$\angle 1 = 60^{\circ}$，以下四个结论中正确的是①②③④(填序号).
① $\triangle BCD$ 为等边三角形；② $AD = BD$；③ $CD = AD$；④ $AB = 2BC$.

答案： 12.①②③④

13. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$CB = CD$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$E$ 为 $AD$ 上一点，连接 $BD$，$CE$ 相交于点 $F$，$CE// AB$.
（1）判断 $\triangle DEF$ 的形状，并说明理由.
（2）若 $AD = 12$，$CE = 8$，求 $CF$ 的长.
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答案： 13.解：
(1)△DEF是等边三角形.理由：
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE//AB，
∴∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠CED=∠ADB=∠DFE.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠DAC=30°.
∴AE=CE=8.
∴DE=AD-AE=12-8=4.
∴△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.

14. 如图 1，在等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是边 $AB$ 上的动点，以 $CD$ 为一边，向上作等边三角形 $EDC$，连接 $AE$.
（1）$\triangle DBC$ 和 $\triangle EAC$ 全等吗？请说明理由.
（2）求证：$AE// BC$.
（3）如图 2，动点 $D$ 运动到边 $BA$ 的延长线上，$\triangle EDC$ 仍为等边三角形，请问是否仍有 $AE// BC$？证明你的猜想.

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答案： 14.解：
(1)△DBC≌△EAC.理由：
∵△ABC，△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC，
∴△DBC≌△EAC(SAS).
(2)证明：
∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
(3)仍有AE//BC.证明：
∵△ABC，△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC，
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.