《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

9. 【整体思想】(2024·济宁)已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^2 + 1}$的值是2.

答案： 2

10. 通分：
(1) $\frac{1}{x^2 - 4}$，$\frac{3}{2x - 4}$.
(2) $x - y$，$\frac{2y^2}{x + y}$.
(3) $\frac{1}{(x - 1)^2}$，$\frac{1}{x^2 - 1}$，$\frac{1}{x + 1}$.

答案：
(1)
首先对分母进行因式分解：
$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，$2x - 4 = 2(x - 2)$。
最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$。
$\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{2}{2(x + 2)(x - 2)}$；
$\frac{3}{2x - 4}=\frac{3}{2(x - 2)}=\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)}$。
(2)
$x - y=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$；
$\frac{2y^{2}}{x + y}$分母已经是$x + y$，无需变化，所以最简公分母为$x + y$，通分结果为$\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$和$\frac{2y^{2}}{x + y}$。
(3)
对分母进行因式分解：
$(x - 1)^{2}$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，$x + 1$。
最简公分母为$(x - 1)^{2}(x + 1)$。
$\frac{1}{(x - 1)^{2}}=\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$；
$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$；
$\frac{1}{x + 1}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$。

11. (1) 先化简，再求值：$\frac{(a^3)^2}{a^4}-\frac{2a^4\cdot a}{a^3}$，其中$a = -2$.
(2) (2024·北京)已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值.

答案：
(1)
首先，根据幂的运算法则化简式子：
$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}-\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}=\frac{a^{6}}{a^{4}}-\frac{2a^{5}}{a^{3}}$
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，可得：
$\frac{a^{6}}{a^{4}}-\frac{2a^{5}}{a^{3}}=a^{6 - 4}-2a^{5 - 3}=a^{2}-2a^{2}=-a^{2}$
当$a = - 2$时，$-a^{2}=-(-2)^{2}=-4$。
(2)
先对代数式进行化简：
$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}=\frac{3a-6b + 3b}{(a - b)^{2}}=\frac{3a-3b}{(a - b)^{2}}=\frac{3(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{3}{a - b}$
因为$a - b-1 = 0$，所以$a - b = 1$。
把$a - b = 1$代入$\frac{3}{a - b}$，得$\frac{3}{1}=3$。
综上，
(1)中化简结果为$-a^{2}$，值为$-4$；
(2)中代数式的值为$3$。

12. 新考向 阅读理解 小学阶段，把分子比分母小的数叫作真分数. 类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式. 对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式. 如：$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$.
(1) 下列分式中，属于真分式的是(C)
A. $\frac{x^2}{x - 1}$ B. $\frac{x - 1}{x + 1}$
C. $-\frac{3}{2x - 1}$ D. $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
(2) 将假分式$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式.
(3) 若$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$的值是整数，求整数$m$的值.

答案：
(1)C
(2)$\frac{m^{2} + 3}{m + 1} = m - 1 + \frac{4}{m + 1}$
(3)$m$的值为$-2$或$0$或$-5$或$3$或$-3$或$1$