《2025年名校课堂八年级数学上册人教版》

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=108^{\circ}$，$AB=AC$，$BD$平分$\angle ABC$，交$AC$于点$D$. 求证：$BC=AB+CD$.

答案： 证明：(方法一：截长法)在BC上取点E,使BE=BA，连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠EBD. 在△ABD和△EBD中,AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC=∠BED=108°.
∴∠DEC=72°.
∵AB=AC, ∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°.
∴∠CDE=72°.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴BC=BE+EC=AB+CD.(方法二：补短法)延长BA至点F，使BF=BC，连接DF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD = ∠FBD. 在△FBD和△CBD中,FB=CB,∠FBD=∠CBD,BD=BD,
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF=DC, ∠F=∠C.
∵BD=BD,AB=AC, ∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°, ∠FAD=72°.
∴∠F=36°. ∠FDA=72°.
∴∠FDA=∠FAD.
∴FA=FD.
∴CD=DF=AF.
∴BC=BF=AB+AF=AB+CD.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B$是锐角，$AD\perp BC$于点$D$，且$\angle B=2\angle C$，$AB=3.5$，$BD=1$，求$DC$的长.
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
解：如图 1，在线段$DC$上取一点$E$，使$DE=DB$，连接$AE$.
$\because AD\perp BC$，$DE=DB$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$.
$\therefore AB=AE$(依据 1).
$\therefore \angle B=\angle AEB$(依据 2).
$\because \angle B=2\angle C$，$\therefore \angle AEB=2\angle C$.
又$\because \angle AEB=\angle EAC+\angle C$，
$\therefore \angle EAC+\angle C=2\angle C$.
$\therefore \angle EAC=\angle C$. $\therefore AE=CE$(依据 3).
$\therefore AE=CE=AB$.
$\therefore DC=DE+CE=BD+AB=1+3.5=4.5$.
(1) 上述解题过程中的“依据 1”“依据 2”“依据 3”分别指的是什么？
依据 1：_______.
依据 2：_______.
依据 3：_______.
(2) 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
解：如图 2，延长$DB$到点$E$，使$BE=AB$，连接$AE$.
……
请根据小亮的思路写出完整的解题过程.

答案：
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边
(2)EB=AB,
∴∠E=∠EAB. ∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.
∵∠ABD=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
∵AD⊥BC,
∴DC=ED=EB+BD=AB+BD=3+1.5=4.5.