《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

2.追及和相遇问题 ★★★★
典例8：有两列车，其中快车长150 m，慢车长400 m。若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用的时间为22 s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用的时间为10 s。求两车的速度。
思路引导
| |同向|相向|
| ---- | ---- | ---- |
|图示|||
|等量关系|快车比慢车多行驶的距离是两列车的长度和。|快车和慢车行驶的距离和是两列车的长度和。|
解：设快车的速度为x m/s，慢车的速度为y m/s。
根据题意，得$\begin{cases}22x - 22y = 150 + 400,\\10x + 10y = 150 + 400.\end{cases}$
答：快车和慢车的速度分别为______m/s，______m/s。

答案：

题型7 方案决策问题(易错) ★★★★
典例9：已知用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨。某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物。根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案。
(3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。
解：(1)设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨、y吨。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 17,\\2x + 3y = 18,\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}x = 3,\\y = 4.\end{cases}$
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨。
(2)结合题意和(1)，得3a + 4b = 35，
所以a = $\frac{35 - 4b}{3}$。
因为a，b都是正整数，
所以$\begin{cases}a = 9,\\b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = 5,\\b = 5\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1,\\b = 8\end{cases}$。
所以该物流公司共有三种租车方案。
方案一：租用A型车9辆，B型车2辆。
方案二：租用A型车5辆，B型车5辆。
方案三：租用A型车1辆，B型车8辆。
(3)因为A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
所以方案一需租金9×200 + 2×240 = 2 280(元)；
方案二需租金5×200 + 5×240 = 2 200(元)；
方案三需租金1×200 + 8×240 = 2 120(元)。
因为2 280 ＞ 2 200 ＞ 2 120，
所以最省钱的租车方案是方案三，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租金为2 120元。
易错警示
忽略隐含条件致错
注意题中的隐含条件，a，b表示车的数量，且A型车和B型车同时参与运货，所以a，b只能是正整数，求解时要确保实际问题有意义。

答案：

7.甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长。

答案： 7解:设乙的速度为x米/分,则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米.
由题意,得$\begin{cases}2.5x×4 - 4x = y\\4x + 300 = y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 150\\y = 900\end{cases}$.
所以乙的速度为150米/分，甲的速度为2.5×150 = 375(米/分).
答:乙的速度为150米/分,甲的速度为375米/分,环形场地的周长为900米.

8.为了参加学校举办的“学生杯”足球联赛，某中学七(1)班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，七(2)班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元。
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需要多少元。
(2)为响应“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1 500元全部用来购买A，B两种品牌(A，B两种品牌的足球均购买)的足球以供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校设计购买方案。

答案： 8解:
(1)设购买一个A品牌的足球需要x元，一个B品牌的足球需要y元.
根据题意,得$\begin{cases}x + 2y = 210\\3x + y = 230\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 50\\y = 80\end{cases}$.
答:购买一个A品牌的足球需要50元，一个B品牌的足球需要80元.
(2)设购买A品牌的足球m个,购买B品牌的足球n个.
根据题意,得50m + 80n = 1500，
所以$m = \frac{1500 - 80n}{50}=30 - \frac{8n}{5}$.
因为m,n均为正整数，
所以$\begin{cases}m = 22\\n = 5\end{cases}$或$\begin{cases}m = 14\\n = 10\end{cases}$或$\begin{cases}m = 6\\n = 15\end{cases}$.
所以学校共有三种购买足球的方案.
方案一:购买A品牌的足球22个,B品牌的足球5个.方案二:购买A品牌的足球14个,B品牌的足球10个.方案三:购买A品牌的足球6个,B品牌的足球15个.