《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型5 构造二元一次方程组求值
典例7：已知|a+2b+3|+(3a-b-5)²=0，求(3a+2b)²⁰²⁴的值。
解：因为|a+2b+3|≥0，(3a-b-5)²≥0，|a+2b+3|+(3a-b-5)²=0，
所以{a+2b+3=0 3a-b-5=0}。
解这个方程组，得{a=1 b=-2}。
所以(3a+2b)²⁰²⁴=[3×1+2×(-2)]²⁰²⁴=(-1)²⁰²⁴=1。

答案：

5.（1）如果$3x^{m+n+2}y²$与$-4x^{5}y^{m+n}$是同类项，则$m^{n}$的值为______。
（2）定义运算"*"，规定x*y=ax²+by，其中a，b为常数，且3*2=6，4*1=7，则5*3=______。

答案： 5
(1)-1　解析：
(1)因为$3x^{m + 4}y^{2}$与$-4x^{n}y^{m + n}$是同类项，所以$\begin{cases}m + 4 = n,\\m + n = 2.\end{cases}$解这个方程组，得$\begin{cases}m = -1,\\n = 3.\end{cases}$所以$m^{n}=(-1)^{3} = -1$.
@@5
(2)13 解析：
(2)方法一　因为$x*y = ax^{2}+by$，3*2 = 6，4*1 = 7，所以$\begin{cases}9a + 2b = 6,\\16a + b = 7.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{8}{23},\\b=\frac{33}{23}.\end{cases}$所以$x*y=\frac{8}{23}x^{2}+\frac{33}{23}y$，所以$5*3=\frac{8}{23}×25+\frac{33}{23}×3=\frac{200}{23}+\frac{99}{23}=13$.方法二　因为$x*y = ax^{2}+by$，3*2 = 6，4*1 = 7，所以$\begin{cases}9a + 2b = 6, &①\\16a + b = 7. &②\end{cases}$① + ②，得25a + 3b = 13.所以5*3 = 25a + 3b = 13.

题型6 有关二元一次方程组的探究问题（培优）
典例8：关于x，y的方程组{2x+3my=4,① 6y-2x=-4②}是否有解？若有，求出方程组的解；若没有，请说明理由。
解：①+②，得(6+3m)y=0，即(2+m)y=0。
分情况讨论：
（1）若m≠-2，则y=0。把y=0代入②，得x=2。
所以原方程组的解是{x=2 y=0}。
（2）若m=-2，则2+m=0，此时不论y取何值，等式(2+m)y=0恒成立，
所以原方程组有无数个解。
综上所述，当m≠-2时，原方程组的解是{x=2 y=0}。
当m=-2时，原方程组有无数个解。

答案：

6. 已知关于x，y的方程组{ax+(a-1)y=a 2x+2y=3}有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当a=2时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则a=0。其中正确的说法有（ ）
A.0种 B.1种 C.2种 D.3种

答案： 6C　解析：$\begin{cases}ax + 2(a - 1)y = a, &①\\2x + 2y = 3. &②\end{cases}$
由②得$x=\frac{3 - 2y}{2}$.
把$x=\frac{3 - 2y}{2}$代入①，得$a\cdot\frac{3 - 2y}{2}+2(a - 1)y = a$，
整理得$(a - 2)y=-\frac{a}{2}$.
当a = 2时，方程组无解；
当a≠2时，方程组有唯一解，①②错误，③正确；
若y = 0，则$(a - 2)×0=-\frac{a}{2}$，解得a = 0，④正确. 故选C.