《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

2.整体代入求值
典例4:已知$x^{2}-4x - 3 = 0$，求代数式$(2x - 3)^{2}+(2 + x)(2 - x)$的值。
解：$(2x - 3)^{2}+(2 + x)(2 - x)$
$=(2x - 3)(2x - 3)+4-2x + 2x-x^{2}$
$=4x^{2}-6x-6x + 9+4-2x + 2x-x^{2}$
$=3x^{2}-12x + 13$
因为$x^{2}-4x - 3 = 0$，所以$x^{2}-4x = 3$
所以原式$=3(x^{2}-4x)+13=3\times3+13=22$

答案：

题型3 利用多项式乘法解决“不含”问题
典例5:(2024·扬州江都区期中)已知$(x^{3}+mx + n)(x^{2}-3x + 4)$的展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$项。
(1)求$m,n$的值；
(2)求$(m + n)(m^{2}-mn + n^{2})$的值。
思路引导
$(x^{3}+mx + n)(x^{2}-3x + 4)$ 多项式乘法法则 化简整理成最简形式 令含$x^{2},x^{3}$的项的系数为0 解方程求出$m,n$的值
解：
多项式乘法 (1)$(x^{3}+mx + n)(x^{2}-3x + 4)$
$=x^{5}-3x^{4}+(m + 4)x^{3}+(n - 3m)x^{2}+(4m - 3n)x + 4n$
因为展开式中不含$x^{3}$项，
建立方程 所以$m + 4 = 0$
解得$m=-4$
又因为展开式中不含$x^{2}$项，
所以$n - 3m = 0$
将$m=-4$代入，得$n=-12$
(2)$(m + n)(m^{2}-mn + n^{2})$
多项式乘法 $=m^{3}-m^{2}n+mn^{2}+m^{2}n-mn^{2}+n^{3}$
$=m^{3}+n^{3}$
由(1)知$m=-4,n=-12$
代入求值 所以原式$=(-4)^{3}+(-12)^{3}=-64-1728=-1792$

答案：

一题一练
3.(2024·常州期中)先化简，再求值：$(2a - b)(a - 2b)-(a - b)(3a - 2b)$，其中$a=-1,b=\frac{1}{2}$

答案： 解:(2a−b)(a−2b)−(a−b)(3a−2b)
=2a²−4ab−ab+2b²−(3a²−2ab−3ab+2b²)
=2a²−5ab+2b²−(3a²−5ab+2b²)
=2a²−5ab+2b²−3a²+5ab−2b²
=−a²,
当a=−1,b=$\frac{1}{2}$时，
原式=−(−1)²=−1.

4.(盐城亭湖区期中)如果$(5 - a)(6 + a)=50$，那么$a^{2}+a + 1$的值为______

答案： −19　解析:因为(5−a)(6+a)=30+5a−6a−a²=−a²−a+30=50,
所以a²+a=−20,
所以a²+a+1=−20+1=−19.

解题思维提升
一题一练
5. 新课标 代数推理 说明代数式$(2x + 3)(6x + 2)-6x(2x + 13)+8(7x + 2)$的值与$x$的取值无关

答案： 解:因为(2x+3)(6x+2)−6x(2x+13)+8(7x+2)
　　　=12x²+4x+18x+6−12x²−78x+56x+16
　　　=22,
所以代数式(2x+3)(6x+2)−6x(2x+13)+8(7x+2)的值与x的取值无关