《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型 4 不等式组与方程组的综合应用
典例 10：已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = m,\\2x + 3y = 2m + 4\end{cases}$的解满足不等式组$\begin{cases}3x + y\leqslant0,\\x + 5y ＞ 0.\end{cases}$求满足条件的$m$的整数解。
思路引导
分别用$m$表示出$3x + y$和$x + 5y$$\xrightarrow{代入}$不等式组$\xrightarrow{转化}$关于$m$的不等式组$\xrightarrow{解不等式组}$
解：$\begin{cases}x - 2y = m,①\\2x + 3y = 2m + 4,②\end{cases}$
由① + ②，得$3x + y = 3m + 4$。
由② - ①，得$x + 5y = m + 4$。
依题意，得$\begin{cases}3m + 4\leqslant0,\\m + 4 ＞ 0,\end{cases}$
解得$-4 ＜ m\leqslant-\frac{4}{3}$。
所以满足条件的$m$的整数解为 - 3， - 2。

另解
解方程组$\begin{cases}x - 2y = m,\\2x + 3y = 2m + 4\end{cases}$，得$\begin{cases}x = m+\frac{8}{7},\\y=\frac{4}{7}\end{cases}$
则不等式组$\begin{cases}3x + y\leqslant0,\\x + 5y ＞ 0\end{cases}$可化为$\begin{cases}3m + 4\leqslant0,\\m + 4 ＞ 0\end{cases}$
解得$-4 ＜ m\leqslant-\frac{4}{3}$。
所以满足条件的$m$的整数解为 - 3， - 2。

答案：

8. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}4 - 2x\geqslant0,\\\frac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$恰有 3 个整数解，则$a$的取值范围是______。

答案： $-\frac{1}{2}\leqslant a ＜ 0$ 解析：解不等式 $4 - 2x\geqslant0$，得 $x\leqslant2$，
解不等式 $\frac{1}{2}x - a ＞ 0$，得 $x ＞ 2a$。
因为不等式组恰有 3 个整数解，
所以 $-1\leqslant2a ＜ 0$，
解得 $-\frac{1}{2}\leqslant a ＜ 0$。

9. (2024·仪征期末)已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 6a - 1,\\x + 2y = -5.\end{cases}$
(1)若$x,y$满足方程$x - y = -4$，求$a$的值；
(2)若$-2 ＜ x + y\leqslant1$，求$a$的取值范围。

答案： 解：
(1)$\begin{cases}2x + y = 6a - 1 &①\\x + 2y = - 5 &②\end{cases}$
① - ②，得 $x - y = 6a + 4$，
因为 $x - y = - 4$，
所以 $6a + 4 = - 4$，解得 $a = -\frac{4}{3}$。
(2)$\begin{cases}2x + y = 6a - 1 &①\\x + 2y = - 5 &②\end{cases}$
① + ②，得 $3x + 3y = 6a - 6$，
所以 $x + y = 2a - 2$，
因为 $-2 ＜ x + y\leqslant1$，
所以 $-2 ＜ 2a - 2\leqslant1$，所以 $0 ＜ a\leqslant\frac{3}{2}$。

典例11：(2024·安徽中考)已知实数a，b满足a-b+1=0,0<a+b+1<1，则下列判断正确的是（）
A. -$\frac 12$<a<0   B. $\frac 12$ <b<1   C.-2<2a+4b<1   D. -1<4a+2b<0 

答案：