《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

典例8：已知$a^{3}=2$，$b^{5}=3$，试比较a，b的大小.
解：
化为相同指数的幂 $(a^{3})^{5}=a^{15}=2^{5}=32$，$(b^{5})^{3}=b^{15}=3^{3}=27$. 指数3和5的最小公倍数是15，所以可将$a^{3}$和$b^{5}$分别乘方，化为指数为15的幂的形式
比较幂的大小 因为$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.

答案：

2. 指数比较法
典例9：已知$a = 16^{6}$，$b = 8^{9}$，$c = 4^{13}$，试比较a，b，c的大小.
思路引导
底数、指数均不同 指数6，9，13的最大公因数为1 化为相同底数的幂 底数16，8，4都可化为2的乘方的形式
解：
化成同底数幂 $a = 16^{6}=(2^{4})^{6}=2^{24}$，$b = 8^{9}=(2^{3})^{9}=2^{27}$，$c = 4^{13}=(2^{2})^{13}=2^{26}$.
比较指数的大小 因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$.

答案：

题型5 有关幂的运算的实际应用
典例10：为了保护生态环境，某制药厂产生的废水在排放前需进行净化. 已知该制药厂一天的废水排放量为$9\times 10^{5}dm^{3}$，正方体储水池的棱长为$10^{2}dm$，请你通过计算判断这些废水能否一次性注入储水池内进行净化.
思路引导
计算储水池的容积 比较储水池的容积是否大于废水排放量 是 能一次性注入 否 不能一次性注入
解：正方体储水池的容积为$(10^{2})^{3}=10^{6}(dm^{3})$.
因为$10^{6}=10\times 10^{5}$，而$9\times 10^{5}＜10\times 10^{5}$，所以$9\times 10^{5}＜10^{6}$.
所以这些废水能一次性注入储水池内进行净化.

答案：

一题一练
7. 已知$a^{3}=4$，$b^{11}=8$，试比较a，b的大小.

答案： 7解:因为$(a^{3})^{11}=4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，$(b^{11})^{3}=8^{3}=(2^{3})^{3}=2^{9}$，$2^{22}＞2^{9}$，所以$(a^{3})^{11}＞(b^{11})^{3}$.所以$a^{33}＞b^{33}$.所以$a＞b$.

一题一练
8. 已知$a = 81^{31}$，$b = 27^{41}$，$c = 9^{61}$，则a，b，c的大小关系是 （ ）
A.$a＞b＞c$ B.$b＞a＞c$ C.$b＞c＞a$ D.$a＞c＞b$

答案： 8A　解析:因为$a = 81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$b = 27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$c = 9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，所以$a＞b＞c$.

一题一练
9. 一个球状物体在某种物质的催化作用下，每经过1 s其体积就膨胀为原来的$10^{2}$倍. 若这个球状物体的半径为$2\times 10^{3}cm$，求10 s后该物体的体积是多少.（球的体积计算公式为$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$，其中r为球的半径，最后结果保留π）

答案： 9解:因为$V=\frac{4}{3}\pi\times(2\times10^{3})^{3}\times(10^{2})^{10}=\frac{4}{3}\pi\times2^{3}\times10^{9}\times10^{20}=\frac{32}{3}\pi\times10^{29}(cm^{3})$，所以$10s$后该物体的体积是$\frac{32}{3}\pi\times10^{29}cm^{3}$.