《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

一题一练
1. 若关于$x$，$y$的方程$3x^{|m|}+my = y + 1$是二元一次方程，则$m$的值为( )
A. $\pm1$ B. 0 C. 1 D. -1

答案： 1D解析:因为方程$3x^{|m|}+my = y + 1$是关于$x,y$的二元一次方程，所以方程变形为$3x^{|m|}+(m - 1)y = 1$，所以$|m| = 1$，且$m - 1\neq0$，所以$m = \pm1$，且$m\neq1$，所以$m = - 1$。

题型2 二元一次方程的解的应用 ★★★
典例4：已知$\begin{cases}x = 5\\y = 5\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + 2y = -5$的一个解，则$k$的值为( )
A. -5 B. -3 C. 4 D. 2
思路引导
方程的解$\xrightarrow{代入方程}$转化$\xrightarrow{关于k的一元一次方程}$解方程$\xrightarrow{k的值}$
解析：因为$\begin{cases}x = 5\\y = 5\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + 2y = -5$的一个解，
所以$5k + 10 = -5$，解得$k = -3$.
答案：B

答案： B

题型3 二元一次方程的实际应用(一题多问) ★★★★
典例5：某班为奖励在校运会中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案.
解析：设购买甲种奖品$x$件，乙种奖品$y$件.
根据题意，得$4x + 3y = 48$，即$x = 12-\frac{3y}{4}$.
因为$x\geq1$，$y\geq1$，且$x$，$y$都是正整数，
所以$y$是4的倍数.
当$y = 4$时，$x = 12-\frac{3\times4}{4}=9$；
当$y = 8$时，$x = 12-\frac{3\times8}{4}=6$；
当$y = 12$时，$x = 12-\frac{3\times12}{4}=3$；
当$y = 16$时，$x = 12-\frac{3\times16}{4}=0$，不符合题意.
故有3种购买方案.
答案：3
解题通法
求二元一次方程的特殊解的步骤
(1)变形，用含$x$的式子表示$y$(或用含$y$的式子表示$x$)；
(2)定值，根据方程的解的特征，确定符合要求的$x$的值(或$y$的值)；
(3)试值，由$x$(或$y$)的值，逐一计算对应的$y$(或$x$)的值，当$y$(或$x$)的值不在其取值范围内时，试值结束；
(4)确定，根据试值结果确定二元一次方程的特殊解.

答案： 3

一题一练
2.(整体思想)若$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$mx + ny = 4$的一组解，则$2m - 4n - 10$的值为( )
A. -18 B. -6 C. -14 D. -2

答案： 2D解析:将$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$代入方程$mx + ny = 4$，得$m - 2n = 4$。所以$2m - 4n - 10 = 2(m - 2n) - 10 = 2\times4 - 10 = - 2$。故选D。

一题一练
3.典例追问 (1)典例5中其余条件不变，问题变化为“如果要尽量多购买甲种奖品，该怎样设计购买方案?”
(2)典例5中，若删去条件“每种奖品至少购买1件”，则有______种购买方案.

答案： 3解:
(1)由典例5中的解析易知,$x$的最大值为9,即最多可购买9件甲种奖品,所以如果要尽量多购买甲种奖品,购买方案为购买9件甲种奖品,4件乙种奖品.
(2)5提示:结合典例5的解析可知,条件改变后,实际问题转化为求二元一次方程的非负整数解，即增加了2种购买方案,当$y = 0$时,$x = 12$;当$y = 16$时,$x = 12-\frac{3\times16}{4}=0$。所以共有5种购买方案.

一题一练
4.(2024·宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝. 该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱

答案： 4C解析:设可以装$x$箱大箱,$y$箱小箱. 根据题意,得$4x + 3y = 32$，所以$x = 8-\frac{3}{4}y$。又因为$x,y$均为正整数，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = 8\end{cases}$，所以$x + y = 9$或10，所以所装的箱数最多为10箱。