《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型3 三元一次不定方程的应用(培优)
典例5：一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有 （ ）
A. 4种
B. 3种
C. 2种
D. 1种
思路引导
等量关系$\to$二人间房间数+三人间房间数+四人间房间数=7，二人间人数+三人间人数+四人间人数=20
$\to$列出两个共含有3个未知数的方程$\to$消去一个未知数$\to$求二元一次方程的特殊解
解析：设租二人间$x$间，三人间$y$间，四人间$z$间.
根据题意，得$\begin{cases}x + y + z = 7, &①\\2x + 3y + 4z = 20. &②\end{cases}$$② - ①\times2$，得$y + 2z = 6$.
因为$y$，$z$均为正整数，所以$\begin{cases}y = 4,\\z = 1\end{cases}$或$\begin{cases}y = 2,\\z = 2.\end{cases}$
把$\begin{cases}y = 4,\\z = 1\end{cases}$代入①，得$x = 2$；把$\begin{cases}y = 2,\\z = 2\end{cases}$代入①，得$x = 3$.
所以共有2种租房方案：（1）租二人间2间，三人间4间，四人间1间；（2）租二人间3间，三人间2间，四人间2间.
答案：C

答案：

一题一练
3. 购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需30元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需40元. 问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？

答案： 解：设铅笔每支$x$元，作业本每本$y$元，圆珠笔每支$z$元.
根据题意，得$\begin{cases}7x + 3y + z = 30, &①\\10x + 4y + z = 40. &②\end{cases}$
①×3 - ②，得$11x + 5y + 2z = 50$.
所以购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需50元.