《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

典例 通过本章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式. 如图8 - 1(1)可以得到$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$；如图8 - 1(2)可以得到$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$. 现有长与宽分别为a，b的长方形若干个，用四个这样的长方形拼成如图8 - 1(3)所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)【探索发现】
根据图8 - 1(3)，猜想并验证$(a + b)^2$与$(a - b)^2$之间的关系(用含a，b的式子表示)：______.
(2)【解决问题】
①若$x + y = 8$，$x^2 + y^2 = 40$，则$xy = $______.
②当$(x - 300)(200 - x)=2024$时，求$(2x - 500)^2$的值.
(3)【迁移应用】
如图8 - 1(4)，在长方形空地上铺五个相同的蓝色小长方形，两个相同的白色大正方形和两个相同的白色小正方形地砖. 已知长方形空地的周长为8.4米，每个小长方形地砖的面积为0.36米². 设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米.
①$m + n = $______.
②求长方形空地中白色地砖的总面积.

(1)　　　　　　　　(3)　　　　(4)
图8 - 1
解：(1)$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$ 验证如下：
由图8 - 1(3)知，大正方形面积为$(a + b)^2$，小正方形面积为$(a - b)^2$，而大正方形与小正方形的面积差为4个长方形的面积，即4ab，所以$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$.
(2)①12 提示：因为$(x + y)^2=x^2 + 2xy + y^2$，所以$2xy=(x + y)^2-(x^2 + y^2)$.
因为$x + y = 8$，$x^2 + y^2 = 40$，所以$2xy = 8^2 - 40 = 24$，所以$xy = 12$.
②设$x - 300 = a$，$200 - x = b$，则$a + b = x - 300 + 200 - x = - 100$，$a - b = x - 300 - (200 - x)=2x - 500$.
因为$(x - 300)(200 - x)=2024$，即$ab = 2024$，由(1)可知$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$，所以$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab = (- 100)^2 - 4×2024 = 1904$，所以$(2x - 500)^2 = 1904$.
(3)①1.4 提示：由图8 - 1(4)可知，长方形空地的长为$(2m + n)$米，宽为$(m + 2n)$米.
因为长方形空地的周长为8.4米，所以$2(2m + n + m + 2n)=8.4$，所以$m + n = 1.4$.
②设长方形空地中白色地砖的总面积为S.
$S=(2m + n)(m + 2n)-5mn$
$=2(m^2 + n^2)$.
因为每个小长方形地砖的面积为0.36平方米，所以$mn = 0.36$.
因为$m + n = 1.4$，所以$(m + n)^2=m^2 + 2mn + n^2=m^2 + 0.72 + n^2 = 1.96$，所以$m^2 + n^2 = 1.24$，所以长方形空地中白色地砖的总面积为$2×1.24 = 2.48$(米²).
名师点评 本题通过用不同的方法表示同一个图形的面积来写代数恒等式，让学生体会从“形”到“数”的转化；从面积的角度解释了代数恒等式的正确性，让学生体会从“数”到“形”的转化，从而在总结和应用中真切体会数形结合的思想，了解“数”与“形”之间相辅相成的关系.

答案：