《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

典例6 (河北中考)若k为任意整数，则(2k + 3)² - 4k²的值总能 (　　　)
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
解析:(2k + 3)² - 4k²
=4k² + 12k + 9 - 4k²
=12k + 9.
因为12k和9都能被3整除，所以(2k + 3)² - 4k²的值总能被3整除。 答案:B

答案：

典例7 (随州中考)设有边长分别为a和b(a ＞ b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张。如图1所示要拼一个边长为a + b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片。若要拼一个长为3a + b、宽为2a + 2b的长方形，则需要C类纸片的张数为 (　　　)

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析:因为(3a + b)(2a + 2b)
=6a² + 6ab + 2ab + 2b²
=6a² + 8ab + 2b²，
所以若要拼一个长为3a + b、宽为2a + 2b的长方形，则需要C类纸片的张数为8张。 答案:C

答案：

典例8 (巴中中考)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a + b)ⁿ展开式的系数规律。
1 (a + b)⁰ = 1
1 1 (a + b)¹ = a + b
1 2 1 (a + b)² = a² + 2ab + b²
1 3 3 1 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
当代数式x⁴ - 12x³ + 54x² - 108x + 81的值为1时，x的值为 (　　　)
A. 2 B. -4 C. 2或4 D. 2或 -4
解析:根据题意得(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴，所以x⁴ - 12x³ + 54x² - 108x + 81
=x⁴ + 4x³·(-3) + 6x²·(-3)² + 4x·(-3)³ + (-3)⁴
=(x - 3)⁴，
即(x - 3)⁴ = 1，
所以x - 3 = -1或x - 3 = 1，
解得x = 2或x = 4. 答案:C

答案：