《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型5 运用乘法公式说理
典例8：试说明$(x + \frac{1}{3}y)^2 + (x - \frac{1}{3}y)^2 - 2(x + \frac{1}{3}y)(x - \frac{1}{3}y)$的值与x的取值无关.
解：$(x + \frac{1}{3}y)^2 + (x - \frac{1}{3}y)^2 - 2(x + \frac{1}{3}y)(x - \frac{1}{3}y)$
$=x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 + x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 - 2(x^2 - \frac{1}{9}y^2)$
$=x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 + x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 - 2x^2 + \frac{2}{9}y^2$
$=\frac{4}{9}y^2$，
所以原式的值与x的取值无关.

答案：

题型6 运用乘法公式找规律
典例9：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图8.4 - 3所示)就是一例. 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和. 事实上，这个三角形给出了$(a + b)^n$(n为自然数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律. 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着$(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$展开式中各项的系数，等等.
(1) 通过观察，请你写出“杨辉三角”具有的一个特点；(题干中给出的特点除外)
(2) 请你直接写出$(a + b)^4$的展开式；
(3) 计算：$99^3 + 3×99^2 + 3×99 + 1$.
解：(1)因为第1行有1个数，和为$1 = 2^0$；
第2行有2个数，和为$2 = 2^1$；
第3行有3个数，和为$4 = 2^2$；
第4行有4个数，和为$8 = 2^3$；
……
所以第n行有n个数，和为$2^{n - 1}$. (答案不唯一)
(2)$(a + b)^4=a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(3)$99^3 + 3×99^2 + 3×99 + 1=(99 + 1)^3=100^3=10^6$.

答案：

5. 如图所示，从边长为$a + 5$的正方形纸片中剪去一个边长为$a + 2$的正方形($a＞0$)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则这个长方形的面积为 ( )

A.$2a + 14$
B.$6a + 21$
C.$2a + 15$
D.$12a + 21$

答案： 5B解析:根据题意,得这个长方形的面积为(α+5)²−(a+2)²=(a²²+10a+25) −(a²+4a+4)= 6a+21. 

6. 发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 如：$(2 + 1)^2 + (2 - 1)^2 = 10$为偶数. 请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确.

答案： 6解:验证 5=1+4=1²+2². 10的一半为5， 练 答探究论证如下: 案因为(m+n)²+(m−n)²=m²²+2mn+n²+m²−2mn+n²=2m²+2n²=2(m²+n²),m,n为正整数,所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

7. 已知下列等式：①$2^2 - 1^2 = 3$；②$3^2 - 2^2 = 5$；③$4^2 - 3^2 = 7$；….
(1) 请你仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______.
(2) 请你找出规律，写出第n(n为正整数)个式子，并说明式子成立的理由.
(3) 利用(2)中发现的规律计算：$1 + 3 + 5 + 7 + … + 2023 + 2025$.

答案： 7解:
(1)5²−4²=9
(2)第n个式子为(n+1)²−n²=2n+1.理由:因为(n+1)²−n²=n²+2n+1−n²=2n+1,所以(n+1)²−n²=2n+1.
(3)由
(2)中的规律可知，1+3+5+7+...+2023+2025=1+(2²−1²)+(3²−2²)+(4²−3²)+.….+(1 012²−1011²)+(1013²−1012²)=1013².