《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型1 幂的乘方与积的乘方的混合运算
典例3：计算：(1)$(2\times 10^{2})^{3}\times(-10^{3})^{4}$；(2)$[(a^{2})^{3}+(2a^{3})^{2}]^{2}$；(3)$(-2a)^{6}-(-3a^{3})^{2}+[(-2a)^{2}]^{3}$.
解：(1)$(2\times 10^{2})^{3}\times(-10^{3})^{4}=8\times 10^{6}\times 10^{12}=8\times 10^{18}$.
(2)$[(a^{2})^{3}+(2a^{3})^{2}]^{2}=(a^{6}+4a^{6})^{2}=(5a^{6})^{2}=25a^{12}$.
(3)$(-2a)^{6}-(-3a^{3})^{2}+[(-2a)^{2}]^{3}=(-2)^{6}\cdot a^{6}-(-3)^{2}\cdot(a^{3})^{2}+(-1)^{3}\cdot(2a)^{6}=64a^{6}-9a^{6}-64a^{6}=-9a^{6}$. 也可以这样算：$[(-2a)^{2}]^{3}=(-2^{2}\cdot a^{2})^{3}=(-4a^{2})^{3}=(-4)^{3}\cdot(a^{2})^{3}=-64a^{6}$.
技巧点拨
幂的混合运算的要点
（1）先判断其包含的运算类型，然后选择相应的运算性质；
（2）根据“先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，后算加减”进行计算.

答案：

一题一练
2. 计算：(1)$(-2xy^{2})^{6}+(-3x^{2}y^{4})^{3}$；(2)$x^{4}\cdot x^{5}\cdot(-x)^{7}+5(x^{4})^{4}-(x^{8})^{2}$.

答案： 2解:
(1)$(-2xy^{2})^{6}+(-3x^{2}y^{4})^{3}=64x^{6}y^{12}-27x^{6}y^{12}=37x^{6}y^{12}$.
(2)$x^{4}\cdot x^{5}\cdot(-x)^{7}+5(x^{4})^{4}-(x^{8})^{2}=-x^{16}+5x^{16}-x^{16}=3x^{16}$.

题型2 幂的乘方与积的乘方的运算性质的逆用
1. 幂的乘方的运算性质的逆用
典例4：已知$a^{2n}=9$，求$a^{4n}-a^{6n}$的值.
解：$a^{4n}-a^{6n}=(a^{2n})^{2}-(a^{2n})^{3}=9^{2}-9^{3}=-648$.

答案：

一题一练
3.（1）（2024·南京期末）已知$2^{a}=3$，$4^{b}=5$，则$2^{a + 2b}$的值是____.
（2）若$x^{2n}=4$，$y^{3n}=9$，则$(xy)^{6n}=$____.

答案： 3
(1)15　
(2)$\pm6$解析:
(1)因为$2^{a}=3$，$4^{b}=5$，所以$2^{a + 2b}=2^{a}\cdot2^{2b}=2^{a}\cdot4^{b}=3\times5 = 15$.
(2)因为$x^{2n}=4$，$y^{2n}=9$，所以$(x^{n})^{2}=4$，$(y^{n})^{2}=9$，所以$x^{n}=\pm2$，$y^{n}=\pm3$.
当$x^{n}=2$，$y^{n}=3$时，$(xy)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}=2\times3 = 6$；
当$x^{n}=2$，$y^{n}=-3$时，$(xy)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}=2\times(-3)= - 6$；
当$x^{n}=-2$，$y^{n}=3$时，$(xy)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}=(-2)\times3 = - 6$；
当$x^{n}=-2$，$y^{n}=-3$时，$(xy)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}=(-2)\times(-3)=6$.
综上，$(xy)^{n}=\pm6$.

2. 积的乘方的运算性质的逆用
典例5：计算：(1)$(-\frac{3}{4})^{2024}\times(\frac{4}{3})^{2024}$；(2) 教材 原题改编 变式 P24T9(1)——改变条件 $2^{10}\times0.5^{8}$.
思路引导 逆用积的乘方的运算性质$a^{m}b^{m}=(ab)^{m}$（m是正整数）进行计算.
解：(1)$(-\frac{3}{4})^{2024}\times(\frac{4}{3})^{2024}=(-\frac{3}{4}\times\frac{4}{3})^{2024}=(-1)^{2024}=1$.
(2)$2^{10}\times0.5^{8}=2^{2}\times2^{8}\times0.5^{8}=2^{2}\times(2^{8}\times0.5^{8})=4\times(2\times0.5)^{8}=4$.

答案：

4.计算:

(1)$(-0.125)^{2025}×8^{2025}$

(2)(2024·无锡新吴区校级测试)$(2\frac 25)^{11}×(-\frac 56)^{11}×(-\frac 12)^{12}$

答案： 4 解：
(1)$(-0.125)^{2025}\times8^{2025}$ $=(-0.125\times8)^{2025}$ $=(-1)^{2025}$ $=-1$. 
(2)$(2\frac{2}{5})^{11}\times(-\frac{5}{6})^{11}\times(-\frac{1}{2})^{12}$ $=(\frac{12}{5})^{11}\times(-\frac{5}{6})^{11}\times(-\frac{1}{2})^{12}$ $=(\frac{12}{5})^{11}\times(-\frac{5}{6})^{11}\times(\frac{1}{2})^{12}$ $=(\frac{12}{5})^{11}\times(-\frac{5}{6})^{11}\times(\frac{1}{2})^{11}\times\frac{1}{2}$ $=(-\frac{12}{5}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{2})^{11}\times\frac{1}{2}$ $=(-1)^{11}\times\frac{1}{2}$ $=-\frac{1}{2}$.