《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型3 利用幂的乘方与积的乘方的运算性质求值
典例6：已知$64^{n}=4\times 2^{2n + 2}$，$27^{m}=9\times 3^{m + 3}$，求$m + n$的值.
解：因为$64^{n}=4\times 2^{2n + 2}$，所以$(2^{6})^{n}=2^{2}\times 2^{2n + 2}$，所以$2^{6n}=2^{2n + 4}$，所以$6n = 2n + 4$，解得$n = 1$.
因为$27^{m}=9\times 3^{m + 3}$，所以$(3^{3})^{m}=3^{2}\times 3^{m + 3}$，所以$3^{3m}=3^{m + 5}$，所以$3m = m + 5$，解得$m=\frac{5}{2}$.
所以$m + n=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$. 也可以这样算：因为$64^{n}=4\times 2^{2n + 2}$，所以$(4^{3})^{n}=4\times 2^{2n + 2}$，所以$4^{3n}=4\times 4^{n + 1}$，所以$4^{3n}=4^{n + 2}$，所以$3n = n + 2$，解得$n = 1$.

答案：

一题一练
5.（南京江宁区期中）若$a^{m}=a^{n}$（$a＞0$且$a\neq1$，m，n是正整数），则$m = n$.
请利用上面的结论解决下面的问题.
(1)若$2\times 8^{x}\times 16^{x}=2^{22}$，求x的值；
(2)若$(27^{x})^{2}=3^{12}$，求x的值.

答案： 5解:
(1)因为$2\times8^{x}\times16^{x}=2^{22}$，所以$2\times2^{3x}\times2^{4x}=2^{22}$，则$2^{1 + 3x + 4x}=2^{22}$，所以$1 + 3x + 4x = 22$，解得$x = 3$.
(2)因为$(27^{x})^{2}=3^{12}$，所以$(3^{3x})^{2}=3^{12}$，则$3^{6x}=3^{12}$，所以$6x = 12$，解得$x = 2$.

题型4 比较幂的大小
1. 底数比较法
典例7：教材 原题改编 变式 P25T13——改变条件 比较$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$的大小.
思路引导
底数、指数均不同 底数3，4，5的最大公因数为1 化为相同指数的幂 指数55，44，33的最大公因数为11
解：
化为相同指数的幂 $3^{55}=(3^{5})^{11}=243^{11}$，$4^{44}=(4^{4})^{11}=256^{11}$，$5^{33}=(5^{3})^{11}=125^{11}$.
比较底数的大小 因为$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$.
解题通法
化指数相同，比较底数大小
当幂的指数可以转化为同一个数时，我们可以先运用（或逆用）幂的乘方的性质将原来的幂转化为指数相同的幂，再根据底数（或幂）之间的大小关系比较幂（或底数）的大小.

答案：

一题一练
6. 阅读：已知正整数a，b，c，对于同底数，不同指数的两个幂$a^{b}$和$a^{c}$（$a\neq1$），若$b＞c$，则$a^{b}＞a^{c}$；对于同指数，不同底数的两个幂$a^{b}$和$c^{b}$，若$a＞c$，则$a^{b}＞c^{b}$.
根据上述材料，回答下列问题.
(1)比较大小：$2^{5}$___$8^{2}$（填“＞”“＜”或“=”）；
(2)比较$2^{33}$与$3^{22}$的大小（写出具体过程）；
(3)比较$99^{13}\times 102^{10}$与$99^{10}\times 102^{13}$的大小（写出具体过程）.

答案： 6解:
(1)$＞$　提示：因为$2^{8}=(2^{4})^{2}=16^{2}$，$16^{2}＞8^{2}$，所以$2^{8}＞8^{2}$.
(2)因为$2^{33}=(2^{3})^{11}=8^{11}$，$3^{22}=(3^{2})^{11}=9^{11}$，$8^{11}＜9^{11}$，所以$2^{33}＜3^{22}$.
(3)因为$99^{13}\times102^{10}=99^{3}\times99^{10}\times102^{10}$，$99^{10}\times102^{13}=102^{3}\times99^{10}\times102^{10}$，$99^{3}＜102^{3}$，所以$99^{3}\times99^{10}\times102^{10}＜102^{3}\times99^{10}\times102^{10}$，所以$99^{13}\times102^{10}＜99^{10}\times102^{13}$.