《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型6 多项式乘法的推广应用(一题多问)
典例8:(1)计算：$(x + 1)(x + 2)=$______
$(x - 1)(x - 2)=$______
$(x - 1)(x + 2)=$______
$(x + 1)(x - 2)=$______
(2)你发现(1)中各式有何特征，请用含$p,q$的式子表示出来。
(3)已知$a,b,m$均为整数，且$(x + a)(x + b)=x^{2}+mx + 12$，则$m$的可能取值有多少个？
解：(1)$(x + 1)(x + 2)=x^{2}+3x + 2$， 由$(x + p)(x + q)=x^{2}+(p + q)x + pq$可知，等式右边二次项的系数为1；一次项的系数等于两个因式中常数项的和$p + q$；常数项等于两个因式中常数项的积$pq$
$(x - 1)(x - 2)=x^{2}-3x + 2$
$(x - 1)(x + 2)=x^{2}+x - 2$
$(x + 1)(x - 2)=x^{2}-x - 2$
(2)用含$p,q$的式子表示(1)中各式的特征：
$(x + p)(x + q)=x^{2}+(p + q)x + pq$
(3)因为$(x + a)(x + b)=x^{2}+(a + b)x + ab=x^{2}+mx + 12$
所以$m=a + b$，且$12=ab$ 若常数项$ab$为正，则$a,b$同号；若常数项$ab$为负，则$a,b$异号
又因为$a,b,m$均为整数，且$12=1\times12=2\times6=3\times4=(-1)\times(-12)=(-2)\times(-6)=(-3)\times(-4)$
所以$m=a + b$的可能取值为$\pm13,\pm8,\pm7$，共6个。

答案：

一题一练
8. 典例追问 左栏典例8中总结的等式$(x + p)(x + q)=x^{2}+(p + q)x + pq$可以用图1的面积关系来说明。
(1)根据图2写出一个等式。
(2)请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明(注：不必证明，用代数式标出各部分面积即可)。

答案：
解:
(1)(x+3p)(x+2q)=x²+(3p+2q)x+6pq.
(2)例如:(x+p)(x+2p)=x²+3px+2p²,
可以用如图D8.3−2所示的图形的面积
　　　　　　　　　　　　　　 关系来说明.