《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型4 利用多项式乘法解决实际问题
典例6:如图8.3 - 1，小明想把长为$60 cm$，宽为$40 cm$的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是他把长方形硬纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形。
(1)设小正方形的边长为$x cm$，求图中阴影部分的面积；
(2)当$x = 5$时，求这个盒子的体积。
解：(1)如图8.3 - 2所示，阴影部分的面积为$(60 - 2x)(40 - 2x)=(4x^{2}-200x + 2400)(cm^{2})$

(2)当$x = 5$时，$4x^{2}-200x + 2400=1500$
所以$1500\times5=7500(cm^{3})$
即这个盒子的体积为$7500 cm^{3}$

答案：

一题一练
6.如图，数学活动课上有$A,B,C$三种卡片各若干张，其中卡片$A,C$是边长分别为$a,b$的正方形，卡片$B$是长为$a$、宽为$b$的长方形。
(1)若用这些卡片拼成长为$2a + b$、宽为$a + b$的长方形，请画出示意图，并直接写出所需$B$卡片的张数；
(2)用4张$A$卡片、$m$张$B$卡片、9张$C$卡片拼成一个大正方形，则$m=$______

答案：
解:
(1)画出示意图如图D8.3−1.
　　　　　　
由图可以看出，所需B卡片的张数为3张.
(2)12提示:用4张A卡片、m张B卡片、9张C卡片拼成的大正方形的面积为4a²+mab+9b².因为拼成一个大正方形，所以该大正方形的边长可设为xa+yb(x,
y为正整数),所以该大正方形的面积可以表示为(xa+yb)(xa+yb)=x²a²+2xyab+y²b²,所以4a²+mab+9b²=x²a²+2xyab+y²b².所以x²=4,2xy=m,y²=9,所以x=2,y=3,所以m=12.

一题一练
7.(2024·扬州江都区期中)在计算$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)$的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中称这样的过程为从特殊到一般。
[计算](1)$(x - 1)(x + 1)=$______
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=$______
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=$______
……
[归纳](2)观察(1)中的式子，猜想：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)=$______
[应用](3)请运用上面的结论计算下列问题：
①$2^{2024}+2^{2023}+2^{2022}+2^{2021}+\cdots+2 + 1=$______
②$2^{20}-2^{19}+2^{18}-2^{17}+\cdots-2^{3}+2^{2}-2 + 1=$______
答案见P161

答案： 解:
(1)x²−1　x³−1　x⁴−1
(2)xⁿ⁺¹−1
(3)①2²⁰²⁵−1 提示:把x=2,n=2024代入
(2)中式子可得,(2−1)×(2²⁰²⁴+2²⁰²³+2²⁰²²+2²⁰²¹+...+2+1)=2²⁰²⁵−1,所以2²⁰²⁴+2²⁰²³+2²⁰²²+2²⁰²¹+...+2+1=2²⁰²⁵−1.②设S=2²⁰−2¹⁹+2¹⁸−2¹⁷+...−2³+2²−2+1,则2S=2²¹−2²⁰+2¹⁹−2¹⁸+...−2⁴+2³−2²+2,两式相加,得3S=2²¹+1,所以S=$\frac{2^{21}+1}{3}$.

题型5 利用多项式乘法解决规律探索问题
典例7: 新课标 探究性题 小明和小强平时都是爱思考的学生，他们在学习整式乘法时，发现有些整式乘法的结果很有特点，如$(2m + n)(4m^{2}-2mn + n^{2})=8m^{3}+n^{3}$，$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$。
小明说：“这些等式的左边都是一个二项式与一个三项式相乘，右边都是一个二项式。”
小强说：“是啊！而且右边都可以看成某两项的立方和(差)。”
小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像。”
小强说：“左边二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系。”
……
你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？
(1)请用字母表示你所发现的规律；
(2)请利用上面的规律计算$(-x - 2y)(x^{2}-2xy + 4y^{2})$。
解：
(1)用字母$a,b$表示所发现的规律为：
$(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})=a^{3}+b^{3}$；$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=a^{3}-b^{3}$
(2)$(-x - 2y)(x^{2}-2xy + 4y^{2})$
提负号 $=-(x + 2y)(x^{2}-2xy + 4y^{2})$
用规律 $=-[x^{3}+(2y)^{3}]$
得结果 $=-x^{3}-8y^{3}$

答案：