《2025年教材帮七年级数学下册苏科版》

题型1 乘法公式的综合应用(一题多问，一题多解)
典例3：计算：
(1)$(2x - y + 4)(2x + y - 4)$； (2)$(m - n)(m^2 - n^2)(m + n)$；
(3)$(3a - b + c)^2$； (4)$(2a + 3b - 1)(1 - 2a - 3b)$.
解：(1)$(2x - y + 4)(2x + y - 4)$
$=[2x - (y - 4)][2x + (y - 4)]$
$=(2x)^2 - (y - 4)^2$
$=4x^2 - (y^2 - 8y + 16)$
$=4x^2 - y^2 + 8y - 16$.
(2)$(m - n)(m^2 - n^2)(m + n)$
$=(m - n)(m + n)(m^2 - n^2)$
$=(m^2 - n^2)(m^2 - n^2)$
$=(m^2)^2 - 2\cdot m^2\cdot n^2 + (n^2)^2$
$=m^4 - 2m^2n^2 + n^4$.
(3)$(3a - b + c)^2$
$=[(3a - b) + c]^2$
$=(3a - b)^2 + 2\cdot (3a - b)\cdot c + c^2$
$=9a^2 - 6ab + b^2 + 6ac - 2bc + c^2$
$=9a^2 + b^2 + c^2 - 6ab + 6ac - 2bc$.
另解
$(3a - b + c)^2$
$=[3a - (b - c)]^2$
$=(3a)^2 - 2\cdot 3a\cdot (b - c) + (b - c)^2$
$=9a^2 - 6ab + 6ac + b^2 - 2bc + c^2$
$=9a^2 + b^2 + c^2 - 6ab + 6ac - 2bc$.
(4)$(2a + 3b - 1)(1 - 2a - 3b)$
$=(2a + 3b - 1)[ - (2a + 3b - 1)]$
$= - (2a + 3b - 1)^2$
$= - [(2a + 3b) - 1]^2$
$= - [(2a + 3b)^2 - 2\cdot (2a + 3b)\cdot 1 + 1^2]$
$= - (4a^2 + 12ab + 9b^2 - 4a - 6b + 1)$
$= - 4a^2 - 12ab - 9b^2 + 4a + 6b - 1$
$= - 4a^2 - 9b^2 - 12ab + 4a + 6b - 1$.

答案：

1. 典例追问 (1)观察典例3中(3)的结果，你能归纳出$(a + b + c)^2$的结果吗?
(2)直接写出$(2a - 3b + 4c)^2$的结果.

答案： 1解:
(1)观察典例3中
(3)的结果可知,(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac.
(2)(2a−3b+4c)²=4a²+9b²+16c² −12ab−24bc+16ac.

2. (1)$(3a + 2b)^2 + ( - 2b + 3a)(3a - 2b)$；
(2)$(m - 2n + 1)( - 2n - 1 + m)$；
(3)$(a - b)^2(a + b)^2$.

答案： 2解:
(1)(3a+2b)²+(−2b+3a)(3a+2b)=(3a)²+12ab+(2b)²+(3a)²−(2b)²=9a²+12ab+4b²+9a²−4b²=18a²+12ab.
(2)原式=[(m−2n)+1][(m−2n)−1]=(m−2n)²−1²=m²−4mn+4n²−1.
(3)(a−b)²(a+b)²

题型2 利用乘法公式简化计算
1. 利用完全平方公式简化计算
典例4：计算：
(1)$(60\frac{1}{60})^2$；(2)$9.8^2$；(3)$301^2 + 299^2$.
解：(1)$(60\frac{1}{60})^2=(60 + \frac{1}{60})^2=60^2 + 2×60×\frac{1}{60} + (\frac{1}{60})^2=3600 + 2 + \frac{1}{3600}=3602\frac{1}{3600}$.
(2)$9.8^2=(10 - 0.2)^2=10^2 - 2×10×0.2 + 0.2^2=100 - 4 + 0.04=96.04$.
(3)$301^2 + 299^2=(300 + 1)^2 + (300 - 1)^2=2×(300^2 + 1^2)=2×(90000 + 1)=180002$.

答案：

3. 计算：
(1)$199^2$；
(2)$2021×2023 - 2022^2$.

答案： 3解:
(1)199²=(200−1)²=200²−2×200×1+1²=40000−400+1=39601.
(2)2021×2023−2022²=(2022−1)×(2022+ 第1)−2022²=2022²−1−2022²=−1.