《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

1. 计算$\frac{1}{m + 2}-\frac{1}{4 - m^{2}}\div\frac{1}{m - 2}$的结果为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{m + 2}$
C. $\frac{2}{m + 2}$
D. $\frac{m + 2}{m - 2}$

答案： C

2. 计算:$\frac{a - 1}{a}\div(a-\frac{1}{a})$的正确结果为（ ）
A. $\frac{1}{a + 1}$
B. 1
C. $\frac{1}{a - 1}$
D. -1

答案： A

3. 化简$(\frac{1}{x - 3}-\frac{x + 1}{x^{2}-1})\cdot(x - 3)$的结果是（ ）
A. 2
B. $\frac{2}{x - 1}$
C. $\frac{2}{x - 3}$
D. $\frac{x - 4}{x - 1}$

答案： B

4.（江西中考）化简$(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$.
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解:原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$
乙同学：解:原式$=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$
(1)甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.

答案： 解：（1）②；③；（2）若选择甲同学解法：原式 =$[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}]\cdot\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{x^{2}-x + x^{2}+x}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=2x$；若选择乙同学解法：原式 =$\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}=x - 1 + x + 1 = 2x$。

5. 计算：
(1)（甘肃中考）$\frac{(x + 3)^{2}}{x + 2}\div\frac{x^{2}+3x}{x + 2}-\frac{3}{x}$；
(2)$(\frac{1}{x - y}-\frac{1}{x + y})\div\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}$；
(3)（宜宾中考）$(\frac{1}{x - 2}-\frac{1}{x + 2})\div\frac{x}{x^{2}-4}$；
(4)（叙州区期末）$(\frac{1}{x + 3}-1)\div\frac{x^{2}-4}{x^{2}+6x + 9}$.

答案： （1）解：原式 =$\frac{(x + 3)^{2}}{x + 2}\cdot\frac{x + 2}{x(x + 3)}-\frac{3}{x}=\frac{x + 3}{x}-\frac{3}{x}=\frac{x + 3 - 3}{x}=1$；（2）原式 =$\frac{(x - y)-(x + y)}{(x - y)(x + y)}\div\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}=\frac{-2y}{(x - y)(x + y)}\cdot\frac{(x + y)(x - y)}{xy}=-\frac{2}{x}$；（3）解：原式 =$\frac{x + 2-(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}=\frac{4}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}=\frac{4}{x}$；（4）解：原式 =$\frac{1-(x + 3)}{x + 3}\cdot\frac{(x + 3)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{-x - 2}{x + 3}\cdot\frac{(x + 3)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}=-\frac{x + 3}{x - 2}$。

6. 若a满足$a^{2}=1$，则分式$\frac{a^{2}-a}{a^{2}-2a + 1}\div(\frac{a}{a - 1}-2)$的值为（ ）
A. -1
B. $-\frac{1}{3}$
C. 0
D. $\frac{1}{3}$

答案： B