《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

12.（市中区期末）$k≠0$，函数$y = kx - k$与$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （ ）
　
A. （图象略）
B. （图象略）
C. （图象略）
D. （图象略）

答案： A

13. 若点$A(a - 1,y_1)$，$B(a + 1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＜0$）的图象上，且$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是____________。

答案： $-1 ＜ a ＜ 1$

14.（达州中考）如图，一次函数$y = 2x$与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象相交于$A$、$B$两点，以$AB$为边作等边三角形$ABC$，若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$C$，则$k$的值为________。
　　　　　　　　　　

答案： - 6

15. 已知反比例函数$y=\frac{2m + 1}{x}$（$m$为常数）的图象的一支在第一象限，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数$m$的取值范围是什么？
（2）如果该函数图象经过点$(2,1)$，求$m$的值；
（3）当该函数图象经过点$(3,2)$时，则其必经过点$(-3,\_\_\_\_\_)$，为什么？
（4）在这个函数图象的某一支上任取两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，如果$y_1＜y_2$，那么$x_1$与$x_2$有怎样的大小关系？

答案： 解：
(1)当反比例函数的比例系数$k＞0$时，它的图象分布在第一、三象限，故它的另一支在第三象限。$2m + 1＞0$，即$m＞-\frac{1}{2}$；
(2)因为图象经过点 A(2,1)，所以$1=\frac{2m + 1}{2}$，解得$m=\frac{1}{2}$；
(3) - 2；因为反比例函数的图象关于原点对称；
(4)因为反比例函数的图象经过第一、三象限，所以比例系数$k＞0$，所以在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，所以当$y_1 ＜ y_2$时，$x_1 ＞ x_2$。

16.（叙州区期末）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$AB:y = x - 4$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A$、$B$两点，与$x$轴相交于点$C$，已知点$A$，$B$的坐标分别为$(6n,2n)$和$(m,-6)$。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式$x - 4＞\frac{k}{x}$的解集；
（3）点$P$为反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点，若$S_{\triangle POC}=2S_{\triangle AOC}$，求点$P$的坐标。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)把点 A(6n,2n)代入直线$y = x - 4$得：$2n = 6n - 4$，解得：$n = 1$，$\therefore$点 A 的坐标为(6,2)。$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点 A，$\therefore k = 6×2 = 12$，即反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$；
(2)把点 B(m, - 6)代入直线$y = x - 4$得，$- 6 = m - 4$，解得$m = - 2$，$\therefore$B(-2, - 6)，观察函数图象，发现：当$- 2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，$\therefore$不等式$x - 4＞\frac{k}{x}$的解集为$- 2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 6$；
(3)把$y = 0$代入$y = x - 4$得：$x - 4 = 0$，解得：$x = 4$，即点 C 的坐标为(4,0)，$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$，$\because S_{\triangle BPC}=2S_{\triangle AOC}$，$\therefore S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}OC\cdot|y_P| = 8$，即$\frac{1}{2}×4×|y_P| = 8$，$\therefore |y_P| = 4$。当点 P 的纵坐标为 4 时，则$4=\frac{12}{x}$，解得$x = 3$；当点 P 的纵坐标为 - 4 时，则$- 4=\frac{12}{x}$，解得$x = - 3$，$\therefore$点 P 的坐标为(3,4)或(-3, - 4)。