《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

12.（叙州区期末）把分式$\frac{m + n}{mn}$中的$m$和$n$都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的9倍
B. 扩大为原来的3倍
C. 不变
D. 缩小为原来的$\frac{1}{3}$

答案： D

13. 小丽在化简分式$\frac{\Theta}{x^{2}-1}=\frac{x - 1}{x + 1}$时，$\Theta$部分不小心滴上了墨水，请你推测，$\Theta$部分的代数式应该是______.

答案： $(x - 1)^2$

14. 若$\frac{a}{b}=2$，则$\frac{a^{2}-ab}{b^{2}+ab}=$______.

答案： $\frac{2}{3}$

15.（浙江舟山中考）某动物园利用杠杆原理称象. 如图，在点$P$处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点$A$，$B$处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为$k$ N. 若铁笼固定不动，移动弹簧秤使$BP$扩大到原来的$n(n\gt1)$倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为______N（用含$n$，$k$的代数式表示）.

答案： $\frac{k}{n}$

16. 对分式$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$的变形，
甲同学的做法是：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{(a + b)(a - b)}{a + b}=a - b$；
乙同学的做法是：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{(a^{2}-b^{2})(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{(a^{2}-b^{2})(a - b)}{a^{2}-b^{2}}=a - b$.
请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学的解法是否正确，并说明理由.

答案： 解:甲的解法正确,乙的解法错误.
∵分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$已隐含了$a + b≠0$,
∴可用分式的基本性质将分式的分子、分母同约去$a + b$.
∵$a - b$是否为0不确定,
∴不能用分式的基本性质将分式的分子、分母同乘以$a - b$.

17.（辽宁沈阳一三四中学月考）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如$\frac{8}{3}=\frac{6 + 2}{3}=2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}$. 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如$\frac{x - 1}{x + 1}$，$\frac{x^{2}}{x - 1}$这样的分式就是假分式，再如$\frac{3}{x + 1}$，$\frac{2x}{x^{2}+1}$这样的分式就是真分式. 类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式），如$\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{(x + 1)-2}{x + 1}=1-\frac{2}{x + 1}$；$\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}-1 + 1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)+1}{x - 1}=x + 1+\frac{1}{x - 1}$.
解决下列问题：
（1）分式$\frac{3}{x}$是______分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式$\frac{x^{2}-1}{x + 2}$化为带分式的形式为______；
（3）把分式$\frac{2x - 1}{x + 1}$化为带分式；如果$\frac{2x - 1}{x + 1}$的值为整数，求$x$的整数值.

答案： 解:
(1)真;
(2)$x - 2+\frac{3}{x + 2}$;
(3)$\frac{2x - 1}{x + 1}=\frac{2x + 2 - 3}{x + 1}=2-\frac{3}{x + 1}$.
∵$\frac{2x - 1}{x + 1}$的值为整数,且$x$为整数,
∴$\frac{3}{x + 1}$为整数,
∴$x + 1$为3的约数,
∴$x + 1$的值为$-1$或1或$-3$或3,
∴$x$的值为$-2$或0或$-4$或2.