《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

11. 已知有理数$a、b$满足$ab = 1$，若$M=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}$，$N=\frac{a}{1 + a}+\frac{b}{1 + b}$，则$M，N$的大小关系为（ ）
A. $M＞N$
B. $M = N$
C. $M＜N$
D. 无法确定

答案： B

12. 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为$\frac{a + b}{2}$元/千克和$\frac{2ab}{a + b}$元/千克（$a，b$是正数，且$a\neq b$），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

答案： 解：$\because a,b$是正数，且$a\neq b$，$\therefore\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$。$\therefore\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$。$\therefore$小丽购买商品的平均价格比小颖购买商品的平均价格高。

13.（吉林中考）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中$M$是单项式. 请写出单项式$M$，并将该例题的解答过程补充完整.
例：先化简，再求值：$\frac{M}{a + 1}-\frac{1}{a^{2}+a}$，其中$a = 100$.
解：原式$=\frac{a^{2}}{a(a + 1)}-\frac{1}{a(a + 1)}$

答案： 解：$M = a$。原式$=\frac{a^2}{a(a + 1)}-\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a(a + 1)}=\frac{a - 1}{a}$。$\because a = 100$，$\therefore\frac{a - 1}{a}=\frac{99}{100}$。

14.（通川区校级期末）已知$A=\frac{x^{2}+2x + 1}{x^{2}-1}-\frac{x}{x - 1}$.
（1）化简$A$；
（2）当$x$满足不等式组$\begin{cases}x - 1\geq0\\x - 3＜0\end{cases}$，且$x$为整数时，求$A$的值.

答案： 解：
(1)$A=\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}-\frac{x}{x - 1}=\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{x}{x - 1}=\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}$；
(2)$\because\begin{cases}x - 3 ＜ 0 \\ x - 1\geq0\end{cases}$，$\therefore1\leq x ＜ 3$，$\because x$为整数，$\therefore x = 1$或$x = 2$。
①当$x = 1$时，$\because x - 1\neq0$，$\therefore x\neq1$，$\because A=\frac{1}{x - 1}$中$x\neq1$，$\therefore$当$x = 1$时，$A=\frac{1}{x - 1}$无意义。
②当$x = 2$时，$A=\frac{1}{x - 1}=\frac{1}{2 - 1}=1$。

15. 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式. 例如$a + b + c$，$abc$，$a^{2}+b^{2}$，$\cdots$. 用含有字母$a，b$的基本对称式是$a + b$和$ab$，像$a^{2}+b^{2}$，$(a + 2)(b + 2)$等对称式都可以用$a + b$，$ab$表示，例如$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①$a^{2}b^{2}$；②$a^{2}-b^{2}$；③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$中，属于对称式的是_____（填序号）；
（2）已知$(x + a)(x + b)=x^{2}+mx + n$.
①若$m = -2$，$n=\frac{1}{2}$，求对称式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值；
②若$n = -4$，求对称式$\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$的最小值.

答案： 解：
(1)①③；
(2)$\because(x + a)(x + b)=x^2 + ax + bx + ab=x^2+(a + b)x + ab=x^2 + mx + n$，$\therefore a + b = m$，$ab = n$。
①$\because a + b = m = -2$，$ab = n=\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2 + a^2}{ab}=\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}=\frac{(-2)^2 - 2\times\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=6$；
②$\because n = -4$，$\therefore\frac{a + 1}{a^2}+\frac{b + 1}{b^2}=\frac{a^2 + 1}{a^2}+\frac{b^2 + 1}{b^2}=(a^2 + b^2)+\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})=(a + b)^2 - 2ab+\frac{(a + b)^2 - 2ab}{(ab)^2}=m^2 - 2n+\frac{m^2 - 2n}{n^2}=m^2 - 2\times(-4)+\frac{m^2 - 2\times(-4)}{(-4)^2}=m^2 + 8+\frac{m^2 + 8}{16}=m^2 + 8+\frac{1}{16}m^2+\frac{1}{2}=\frac{17}{16}m^2+\frac{17}{2}$，$\because\frac{17}{16}m^2\geq0$，$\therefore\frac{17}{16}m^2+\frac{17}{2}\geq\frac{17}{2}$，$\therefore\frac{a + 1}{a^2}+\frac{b + 1}{b^2}$的最小值为$\frac{17}{2}$。