《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

8. 如图，矩形ABCD中，AB = 5，BC = 4，点E在射线BC上运动，连结AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，当点F落在直线CD上时，线段CE的长为________.

答案： $\frac{3}{2}$或6

9.（朝天区期末）如图，点B，C分别在正比例函数y = 2x和一次函数y = kx - 2a（a≠0）的图象上，A，D为x轴上两点，点B的纵坐标为a. 若四边形ABCD为矩形，且AB = $\frac{1}{2}$AD，则k的值为______.

答案： $\frac{6}{5}$

10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1 = ∠2.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC = 120°，AC = 8 cm，求四边形ABCD的面积.

答案：
(1) 证明：因为 $\angle1=\angle2$，所以 $BO = CO$，即$2BO = 2CO$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AO = CO$，$BO = DO$，所以$AO = CO = BO = DO$，所以四边形$ABCD$是矩形；
(2) 解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AE⊥BC$，$\angle ABE = 60^{\circ}$，所以$AB = 2BE = 4$，所以$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，所以$DF = 2\sqrt{3}$。因为四边形$ABCD$的面积为$16\sqrt{3}$，$BC = AD$，$S = BC\cdot AE$，所以$BC=\frac{16\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 8$，$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。

11.（中江县月考）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF = BE，连结DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD = 6，EC = 4，∠ABF = 60°，求BD的长.

答案：
(1) 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$，$AB// CD$，$AD// BC$。因为$AE = CF$，所以$BE = DF$，又因为$BE// DF$，所以四边形$EBFD$是平行四边形；
(2) 解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AE⊥BC$，$\angle ABE = 60^{\circ}$，所以$AB = 2BE = 4$，所以$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，$BC = AD$，$S = BC\cdot AE = 16\sqrt{3}$，所以$BC = 8$，$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。

12. 如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：EO = FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论；
（3）在第（2）问的结论下，若AE = 3，EC = 4，AB = 12，BC = 13，请求出凹四边形ABCE的面积.

答案：
(1) 证明：因为 $EO// BC$，所以$\angle EOC=\angle OCB$，又因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ECO=\angle OCB$，所以$\angle ECO=\angle EOC$，所以$EO = CO$。同理可得$FO = CO$；
(2) 解：当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$CEAF$是矩形。证明如下：由
(1)得$EO = FO = CO$，当点$O$运动到$AC$中点时，$AO = CO$，所以$EO = FO = AO = CO$，即$EF = AC$，且$EF$与$AC$互相平分，故此时平行四边形$CEAF$是矩形；
(3) 解：由
(2)得：四边形$CEAF$是矩形，所以$\angle AEC = 90^{\circ}$，所以$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$\triangle ACE$的面积$=\frac{1}{2}AE\cdot EC=\frac{1}{2}×3×4 = 6$。因为$12^{2}+5^{2}=13^{2}$，即$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×12×5 = 30$，所以$S_{四边形ABCE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACE}=30 - 6 = 24$。