《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

7.（易错题）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上. 若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有______个.
　　

答案： A

8.（井研县期末）如图①，点E为□ABCD边上的一个动点，并沿A→B→C→D的路径移动到点D停止；设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，y与x的函数图象如图②所示；若∠C=60°，则□ABCD的面积是______.
　　　

答案： $12\sqrt{3}$

9.（通川区校级期末）如图，E是□ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△FCE.
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，AB//CD，
∴∠DAE = ∠F，∠D = ∠ECF.
∵E为▱ABCD的边CD的中点，
∴DE = CE.在△ADE和△FCE中，$\begin{cases}\angle DAE=\angle F,\\\angle D=\angle ECF,\\DE=CE,\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(A.A.S.)；
(2)解：
∵△ADE≌△FCE，
∴AE = EF = 3.
∵AB//CD，
∴∠AED = ∠BAF = 90°.在△ADE中，AD = BC = 5，DE = $\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴CD = 2DE = 8.

10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F. 若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：延长CA至点M，使AM = AE，延长AC至点N，使CN = CF，连接ME，FN，则∠MEA = ∠M，∠N = ∠NFC.
∵AP + AE = CP + CF，
∴AP + AM = CP + CN，即PM = PN.在△PME和△PNF中，$\begin{cases}PE = PF,\\\angle MPE = \angle NPF,\\PM = PN,\end{cases}$
∴△PME≌△PNF(S.A.S.)，
∴∠M = ∠N，∠MEP = ∠NFP，
∴∠MEP - ∠MEA = ∠NFP - ∠NFC，即∠AEP = ∠PFC.易证△PAE≌△PCF，△PED≌△PFB，
∴PA = PC，PB = PD.

11.（南昌中考）如图，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8. 以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于E.
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.
　　　　

答案：
(1)在Rt△OAB中，OB = DO = DA，∠DAO = ∠DOA，∠OBC = ∠COB，∠BCO = ∠EOA = ∠COA，∠AOB = ∠AEO = ∠BCO，∠AEO = ∠BC，AO = BAO = ∠COA = ∠ABO，AO = AB.
(2)设OG = x，则AG = GC = 8 - x，OA = OB = AB = 8，OA² = OG² + AG²，即$x^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=(8 - x)^{2}$，解得x = 1，
∴OG = 1.