《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）

A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{19}{10}$
D.$\frac{7\sqrt{3}}{6}$

答案： A

10.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______.

答案： 12

11. 如图，在菱形ABCD中，AD=10，对角线AC=16，P是AD上任意一点，M是对角线AC上任意一点，则PM + DM的最小值为______.

答案： $\frac{48}{5}$

12.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB =AD,∠BAC = ∠DAC.又
∵EF⊥AC,E是AB中点,$\therefore AE=AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD$,
∴AM =DM;
(2)解:
∵AE =AM,
∴∠AME =∠AEM.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,
∴∠AEM =∠F ,又∠FMD =∠AME ,
∴∠F =∠FMD ,$\therefore DF=DM=\frac{1}{2}AD$,
∵AD =4 ,
∴菱形ABCD的周长是16.

13.（中江县月考）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD=2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE + CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵菱形ABCD的周长为8,对角线BD =2,
∴AB =AD =BD =2,BC =CD =BD =2,
∴△ABD与△BCD都是等边三角形.
∴∠BDE = ∠C = 60°.
∵AE +CF = 2,
∴CF = 2 - AE.又DE = AD - AE = 2 - AE,
∴DE = CF,在△BDE和△BCF中,$\begin{cases}DE = CF\\\angle BDE=\angle C = 60^{\circ}\\BD=BC\end{cases}$,
∴△BDE≌△BCF(S.A.S.);
(2)解:△BEF是等边三角形.理由如下:由
(1)可知△BDE≌△BCF,
∴BE = BF,∠DBE = ∠CBF,
∴∠EBF = ∠DBE + ∠DBF = 60°,
∴△BEF是等边三角形.

14.（沐川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE，OE，连结AE交OD于点F.
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵四边形OCED是矩形,DE//AC,OE = CD,
∴四边形OCED是平行四边形;
(2)解:
∵菱形ABCD的边长为6,
∴AB = BC = CD = AD = 6,BD⊥AC,AO = CO =$\frac{1}{2}$AC.
∵∠ABC = 60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC = AB = 6.
∵在Rt△AOD中,AD = 6,AO = 3,
∴OD =$\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}=3\sqrt{3}$;
∵四边形OCED是矩形,
∴CE = OD =$3\sqrt{3}$.
∵在Rt△ACE中,AC = 6,CE =$3\sqrt{3}$,
∴AE =$\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{6^{2}+(3\sqrt{3})^{2}}=3\sqrt{7}$;