《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

10.(遂宁中考)若关于$x$的方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$无解，则$m$的值为 （ ）
A.$0$
B.$4$或$6$
C.$6$
D.$0$或$4$

答案： D

11.(内江中考)对于非零实数$a,b$，规定：$a\oplus b=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$. 若$(2x - 1)\oplus 2 = 1$，则$x$的值为________.

答案： $\frac{5}{6}$

12.(眉山中考)关于$x$的方程$\frac{x + m}{x - 2}-3=\frac{x - 1}{2 - x}$的解为非负数，则$m$的取值范围是________.

答案： $m\geqslant - 5$且 $m\neq - 3$

13.(达川区校级期末)已知关于$x$的方程$\frac{2x}{x - 2}+\frac{m}{x - 2}=3$.
(1)当$m$取何值时，此方程的解为$x = 3$?
(2)当$m$取何值时，此方程会产生增根?

答案： 解：
(1)将 $x = 3$代入分式方程，解得 $m=-3$；
(2)去分母得：$2x + m = 3(x - 2)$，解得 $x = 6 + m$，
∵分式方程的增根为 $x = 2$，将 $x = 2$代入 $x = 6 + m$，解得 $m=-4$。$\therefore$当 $m=-4$时，此方程会产生增根。

14.设$A=\frac{x}{x - 1},B=\frac{3}{x^{2}-1}+1$.
(1)当$x$为何值时，$A = 2$?
(2)若$A$与$B$的值相等，求$x$的值.

答案： 解：
(1)由 $A = 2$，得 $\frac{x}{x - 1}=2$；去分母得：$x = 2x - 2$，解得 $x = 2$；
(2)
∵ $A$与 $B$的值相等，$\therefore\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{x^{2}-1}+1$，去分母得：$x(x + 1)=3 + x^{2}-1$，去括号得：$x^{2}+x=3 + x^{2}-1$，移项得：$x^{2}-x^{2}+x=3 - 1$，解得：$x = 2$。检验：当 $x = 2$时，$x^{2}-1 = 3\neq0$，$\therefore x = 2$是分式方程的解。

15.阅读下面的材料.
解方程：$\frac{x - 1}{x}-\frac{4x}{x - 1}=0$.
解：设$y=\frac{x - 1}{x}$，则原方程可化为$y-\frac{4}{y}=0$，
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-4 = 0$，
解得$y_{1}=2,y_{2}=-2$，
经检验，$y_{1}=2,y_{2}=-2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
当$y = 2$时，$\frac{x - 1}{x}=2$，解得$x=-1$，
经检验，$x=-1$是分式方程$\frac{x - 1}{x}=2$的解；
当$y=-2$时，$\frac{x - 1}{x}=-2$，解得$x=\frac{1}{3}$，
经检验，$x=\frac{1}{3}$是分式方程$\frac{x - 1}{x}=-2$的解.
故$x_{1}=-1,x_{2}=\frac{1}{3}$是分式方程$\frac{x - 1}{x}-\frac{4x}{x - 1}=0$的解，
∴分式方程$\frac{x - 1}{x}-\frac{4x}{x - 1}=0$的解为$x_{1}=-1,x_{2}=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
请用换元法解方程：$\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{3}{x - 1}-1 = 0$.

答案： 解：$\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{3}{x - 1}-1=\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{3 + x - 1}{x - 1}=\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{x + 2}{x - 1}$。设 $\frac{x - 1}{x + 2}=y$，则原方程可化为 $y-\frac{1}{y}=0$，方程两边同时乘 $y$，得 $y^{2}-1 = 0$，解得 $y_1 = 1$，$y_2 = - 1$，经检验，$y = 1$，$y = - 1$都是方程 $y-\frac{1}{y}=0$的解。当 $y = 1$时，$\frac{x - 1}{x + 2}=1$，该方程无解；当 $y = - 1$时，$\frac{x - 1}{x + 2}=-1$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，经检验，$x =-\frac{1}{2}$是分式方程 $\frac{x - 1}{x + 2}=-1$的解。故 $x =-\frac{1}{2}$是方程 $\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{3}{x - 1}-1 = 0$的解，$\therefore$方程 $\frac{x - 1}{x + 2}-\frac{3}{x - 1}-1 = 0$的解是 $x =-\frac{1}{2}$。