《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

13.（遂宁中考）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售. 经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多 2 元，用 1000 元购进甲种粽子的个数与用 1200 元购进乙种粽子的个数相同.
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?
(2)该超市计划购进这两种粽子共 200 个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的 2 倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为 12 元/个、15 元/个，设购进甲种粽子 m 个，两种粽子全部售完时获得的利润为 w 元.
①求 w 与 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元?

答案： 解：
(1)设每个甲种粽子的进价为$x$元，则每个乙种粽子的进价为$(x + 2)$元，根据题意得：$\frac{1000}{x}=\frac{1200}{x + 2}$，解得$x = 10$，经检验，$x = 10$是原方程的根，此时$x + 2 = 12$.答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
(2)①购进甲种粽子$m$个，则购进乙种粽子$(200 - m)$个，利润函数关系式为$\omega=-m + 600$.
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子的2倍，
∴ $m\geqslant2(200 - m)$，解得 $m\geqslant\frac{400}{3}$，又
∵两种都有,
∴ $200 - m＞0$,即 $m＜200$,
∴ $\frac{400}{3}\leqslant m＜200$（$m$为正整数）;②由①知,$\omega=-m +600$，$-1＜0$，$\frac{400}{3}\leqslant m＜200$且$m$为正整数，
∴当$m = 134$时，$\omega$有最大值，最大值为466，此时$200 - 134 = 66$，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元.

14.（岳池县期末）甲、乙两家水果店平时以同样的价格出售品质相同的广安华蓥樱桃. 假期间，甲、乙两家水果店都让利酬宾，甲店的樱桃的原价为 30 元/kg，现打九折；乙店的樱桃的价格为 30 元/kg，现一次购买 2 kg 以上，超过 2 kg 的部分打八折. 顾客到甲、乙两家水果店购买樱桃的付款金额 y 甲，y 乙(元)与购买樱桃的质量 x(kg)之间的关系如图所示.
(1)求 y 甲，y 乙关于 x 的函数解析式；
(2)两图象交于点 P，求点 P 的坐标，并说明其实际意义；
(3)请根据函数图象，分情况说明选择去哪家水果店购买樱桃更合算.

答案： 解：
(1)由题意可得$y_{甲}=30x\times0.9 = 27x$（$0\leqslant x\leqslant2$时）；当$x＞2$时，$y_{乙}=30\times2 + 30(x - 2)\times0.8 = 24x + 12$，
∴$y_{乙}=\begin{cases}30x(0\leqslant x\leqslant2) \\ 24x + 12(x＞2) \end{cases}$；
(2)令$27x = 24x + 12$，解得$x = 4$，将$x = 4$代入$y = 27x$得$y = 108$，
∴点$P$的坐标为$(4,108)$；点$P$的实际意义是当一次性购买樱桃的质量为4kg时，甲、乙两家水果店的实际付款金额相同，都是108元；
(3)由图象可得：当$0\leqslant x＜4$时，去甲水果店购买樱桃更合算；当$x = 4$时，去甲、乙两家水果店购买樱桃一样合算；当$x＞4$时，去乙水果店购买樱桃更合算.

15.（沐川县期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C 两点在 x 轴的正半轴上，以 BC 为边向上作正方形 ABCD，顶点 A 在直线 y = 2x 上，双曲线 y = $\frac{k}{x}$ 经过点 A，且与边 CD 交于点 E.
(1)若 BC = 4，求 k 的值和点 E 的坐标；
(2)连结 AE，OE.
①若△AOE 的面积为 24，求 k 的值；
②是否存在某一位置使得 AE⊥OA？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1)$AB = BC = 4$，把$y = 4$代入$y = 2x$，得$x = 2$，即点$A$的坐标为$(2,4)$.把点$A(2,4)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = xy = 8$，
∴$y = \frac{8}{x}$，$OC = OB + BC = 6$，当$x = 6$时，$y = \frac{4}{3}$，
∴$E(6,\frac{4}{3})$；
(2)①设$A(m,2m)$，把点$A(m,2m)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 2m^{2}$，
∴$y = \frac{2m^{2}}{x}$.
∵$OC = 3m$，故设$E(3m,\frac{2m}{3})$，
∵$S_{梯形ABCE}=S_{\triangle AOE}$，即$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}(CE + AB)\cdot BC=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}m + 2m)\cdot2m$，
∴$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}m + 2m)\cdot2m = 24$，解得$m = ±3$，故点$A$的坐标为$(3,6)$.把点$A(3,6)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = xy = 18$；②不存在，理由：假设存在，由$AE⊥OA$，得$∠OAB = ∠EAD$，
∵$AB = AD$，$∠OBA = ∠EDA$，
∴$\triangle OAB≌\triangle EAD(ASA)$，
∴$OB = DE$.由①可知，$A(m,2m)(m＞0)$，则有点$E(3m,\frac{2m}{3})$，
∴$OB = m$，$DE = 2m - \frac{2m}{3}=\frac{4m}{3}$，
∴$m = \frac{4m}{3}$，解得$m = 0$，$k = 0$，
∵$k≠0$，
∴不存在某一位置使得$AE⊥OA$.