《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，已知AC//DE，且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线. 求证：四边形AGDF是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:$\because AC// ED$,$\therefore\angle C=\angle E,\angle CAB=\angle EDB$.又$\because AC = DE$,$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DBE(A.S.A.)$,$\therefore AB = DB,CB = EB$.又$\because AF,DG$分别是$\triangle ABC,\triangle BDE$的中线,$\therefore BG = BF$,$\therefore$四边形$AG - DF$是平行四边形.

10. 如图，点O是□ABCD对角线AC的中点，过点O的直线ME，NF交边于M，E，N，F，求证：MN$\underline{\underline{//}}$EF.
　　　　　　　　　　　

答案： 证明:连接$MF,NE$,易证$\triangle AOM\cong\triangle COE,\triangle AOF\cong\triangle CON$,$\therefore OM = OE,OF = ON$,$\therefore$四边形$MNEF$为平行四边形,$\therefore MN\underline{\underline{//}}EF$.

11.（大竹县校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F.
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:$\because\angle A=\angle ABC = 90^{\circ}$,$\therefore BC// AD$,$\therefore\angle CBE=\angle DFE$,在$\triangle BEC$与$\triangle FED$中,$\begin{cases}\angle CBE=\angle DFE \\ \angle BEC=\angle FED \\ CE = DE\end{cases}$,$\therefore\triangle BEC\cong\triangle FED(A.A.S.)$,$\therefore BE = FE$,又$\because E$是边$CD$的中点,$\therefore CE = DE$,$\therefore$四边形$BDFC$是平行四边形;
(2)解:①$BC = BD = 3$时,由勾股定理得,$AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}} = 2\sqrt{2}$,所以四边形$BDFC$的面积为$3\times2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$;②$BC = CD = 3$时,过点$C$作$CG\perp AF$于$G$,则四边形$AGCB$是矩形,所以$AG = BC = 3$,所以$DG = AG - AD=3 - 1 = 2$,由勾股定理得,$CG=\sqrt{CD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$,所以四边形$BDFC$的面积为$3\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;③$BD = CD$时,$BC$边上的中线应该与$BC$垂直,从而得到$BC = 2AD = 2$,矛盾,此时不成立;综上所述,四边形$BDFC$的面积为$6\sqrt{2}$或$3\sqrt{5}$.

12. 在△ABC中，AB=AC，点D从点B出发沿线段BA移动（不与点A重合），同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点D，E移动的速度相同，DE与BC相交于点F.
（1）如图①，过点D作AC的平行线交BC于点G. 连结CD，GE，判断四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）如图②，过点D作直线BC的垂线，垂足为M，当点D，E在移动的过程中，线段BM，MF，CF有何数量关系？并说明理由.
　　　

答案： 解:
(1)四边形$CDGE$是平行四边形.证明:$\because D,E$移动的速度相同,$\therefore BD = CE$.$\because DG// AE$,$\therefore\angle DGB=\angle ACB$.$\because AB = AC$,$\therefore\angle B=\angle ACB$,$\therefore\angle B=\angle DGB$,$\therefore BD = GD = CE$.又$\because DG// CE$,$\therefore$四边形$CDGE$是平行四边形;
(2)$BM + CF=MF$.理由:由
(1)得$GD = CE$.$\because DG// AE$,$\therefore\angle GDF=\angle E$.又$\because\angle DFG=\angle EFC$,$\therefore\triangle DFG\cong\triangle EFC(A.A.S.)$.$\therefore GF = CF$,$\therefore BM + CF=BM + GF=MF$.