《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB = 6，BC = 8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE + EF的值为（ ）

A. $\frac{48}{5}$
B. $\frac{32}{5}$
C. $\frac{24}{5}$
D. $\frac{12}{5}$

答案： C

10. 如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF = 15°，则∠COF = ______.

答案： $75^{\circ}$

11. 如图，在矩形ABCD中，BC = 10，∠ABD = 30°. 若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM + MN的最小值为______.

答案： 15

12. 如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，由平移的性质，得$AC = DE$，在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle EDC$中，$\begin{cases}CD = DC\\AC = DE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle EDC(H.L.)$；
(2)解：$\triangle BDE$是等腰三角形。理由如下：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AC = BD$。又$\because DE = AC$，$\therefore BD = DE$，$\therefore\triangle BDE$是等腰三角形。

13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB = 3，AD = 6，求AE的长.

答案：
(1)证明：$\because MN$是$AC$的垂直平分线，$\therefore AO = CO$，$\angle AOM=\angle CON = 90^{\circ}$。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB// CD$，$\therefore\angle M=\angle N$，在$\triangle AOM$和$\triangle CON$中，$\begin{cases}\angle M=\angle N\\\angle AOM=\angle CON\\AO = CO\end{cases}$，$\therefore\triangle AOM\cong\triangle CON(A.A.S.)$；
(2)解：连结$CE$，$\because MN$是$AC$的垂直平分线，$\therefore CE = AE$，设$AE = CE = x$，则$DE = 6 - x$。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle CDE = 90^{\circ}$，$CD = AB = 3$，$\therefore$在$Rt\triangle CDE$中，由勾股定理得$3^{2}+(6 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{15}{4}$，即$AE$的长为$\frac{15}{4}$。

14.（确山县期末）下面是张华设计的尺规作图.
如图，已知矩形ABCD.
作法：
①分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线EF于点G，连结AG，BG.
根据张华设计的尺规作图，解决下列问题：
（1）求∠BAG的度数；
（2）过点D作DH//AG，交直线EF于点H.
①求证：四边形AGHD是平行四边形；
②用等式表示平行四边形AGHD的面积S_{1}和矩形ABCD的面积S_{2}的数量关系：________.

答案：
(1)解：由作图知，$EF$是线段$AB$的垂直平分线，$\therefore AG = BG$，$\therefore\triangle ABG$是等边三角形，$\therefore\angle BAG = 60^{\circ}$；
(2)①证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB\perp AD$。②$\because EF\perp AB$，$\therefore EF// AD$，即$GH// AD$。又$\because DH// AG$，$\therefore$四边形$AGHD$是平行四边形。