《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

10.（连云港中考）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处. 若∠DBC=24°，则∠A'EB等于（ ）

A. 66°
B. 60°
C. 57°
D. 48°

答案： C

11.（易错题）若矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为______________.

答案： $4\ cm^{2}$或$12\ cm^{2}$

12. 如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F，求证：AD=CF.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$\angle CDE=\angle AED$，$AB = CD$，$\angle A = 90^{\circ}$。又
∵$DE = AB$，
∴$DE = CD$。
∵$CF\perp DE$，
∴$\angle CFD = 90^{\circ}$。在$\triangle CDF$和$\triangle DEA$中，$\begin{cases}\angle CFD=\angle A\\\angle CDF=\angle DEA\\CD = DE\end{cases}$，
∴$\triangle CDF\cong\triangle DEA$(A.A.S.)，
∴$AD = CF$。

13. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=1，求矩形对角线的长和矩形的面积.

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$AC = BD$，
∴$OA = OB$。由$\angle AOD = 120^{\circ}$知$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle AOD = 60^{\circ}$，
∴$\triangle AOB$为等边三角形，
∴$AC = BD = 2AB = 2$。在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，$S_{矩形ABCD}=AB\cdot BC = 1\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$，即矩形ABCD的对角线的长为2，面积为$\sqrt{3}$。

14.（自贡期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=1，求AB的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB// CD$，
∴$\angle CAE=\angle ACF$。又
∵$AE = CF$，$\angle CFO=\angle AEO$。在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle CAE=\angle ACF\\AE = CF\\\angle AEO=\angle CFO\end{cases}$，
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF$(A.S.A.)，
∴$OE = OF$；
(2)解：连结OB，
∵$BF = BE$，$OE = OF$，
∴$BO\perp EF$。由
(1)知，$\triangle AOE\cong\triangle COF$，
∴$OA = OC$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = AD = 1$。
∴$BO=\frac{1}{2}AC = OA$，
∴$\angle BAC=\angle OBA$。又
∵$\angle BEF = 2\angle BAC$，
∴$\angle BEF = 2\angle OBE$。在$Rt\triangle OBE$中，$\angle BEO+\angle OBE = 90^{\circ}$，
∴$\angle OBE = 30^{\circ}$，
∴$\angle BAC = 30^{\circ}$，
∴$AC = 2$，
∴$AB=\sqrt{3}$。

15. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN；将纸片展平，再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于点E，延长PF交AB于点G. 求证：
（1）△AFP≌△AFG；
（2）△APG是等边三角形.

答案： 证明：
(1)由折叠可得，M，N分别为AD，BC的中点，$CD// MN// AB$，
∵F为PG的中点，即$PF = GF$。由折叠可得$\angle PFA=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle DAP=\angle PAF$，
∴$\angle GFA = 180^{\circ}-\angle PFA = 90^{\circ}$，$\therefore\angle PFA=\angle GFA$。在$\triangle AFP$和$\triangle AFG$中，$\begin{cases}PF = GF\\\angle AFP=\angle AFG\\AF = AF\end{cases}$，
∴$\triangle AFP\cong\triangle AFG$(S.A.S.)；
(2)
∵$\triangle AFP\cong\triangle AFG$，
∴$AP = AG$，$\angle FAP=\angle FAG$。
∵$\angle DAP=\angle FAP$，
∴$\angle DAP=\angle FAP=\angle FAG$。
∵$\angle DAP+\angle FAP+\angle FAG = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAP=\angle FAP=\angle FAG = 30^{\circ}$，
∴$\angle FAP+\angle FAG = 60^{\circ}$，即$\triangle PAG$的内角为$60^{\circ}$，$\triangle PAG$是等边三角形。