《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

10. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（ ）


A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°

答案： B

11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB = 13，AC = 10，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为________.

答案： 60

12. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连结BE. 求证：∠AFD=∠CBE.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE = ∠DCE，BC = CD，AB//CD，
∴∠AFD = ∠CDE.在△BCE和△DCE中，$\begin{cases}BC = DC\\\angle BCE=\angle DCE\\CE = CE\end{cases}$，
∴△BCE≌△DCE(S.A.S.)，
∴∠CBE = ∠CDE，
∴∠AFD = ∠CBE.

13.（朝天区期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE=BC. 连结AE. 过点B作BF//AC，交AE于点F，连结OF.
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E=30°，BF=1，求OF的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AC⊥BD，AD = BC.
∵BE = BC，
∴AD = BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE//BD.
∵BF//AC，
∴四边形AFBO是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴∠AOB = 90°，
∴四边形AFBO是矩形；
(2)解：由
(1)知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB = 90°，OF = AB.
∵BF⊥EF，∠BFE = 90°.又
∵∠E = 30°，BF = 1，BE = 2BF = 2.在Rt△AEC中，BE = BC，AB = BE = 2，
∴OF = AB = 2.

14. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连结AF.
（1）求证：CE=AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE=48°，求∠CBE的度数.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，AB//CD，∠ABC + ∠BCD = 180°，∠ABC = ∠CBE且AB = CB，∠ABC = ∠EBF，
∴△ABF≌△CBE(S.A.S.)，
∴CE = AF；
(2)解：因为四边形ABCD为菱形，∠D + ∠DCB + ∠CBE + ∠BEC = 360°，∠CBE = ∠DPE = 60° - 48° = 12°.

15. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.

答案：
(1)证明：连结EG，因为四边形ABCD是菱形，所以AD//BC，所以∠GBF = ∠EDH，在△BGF和△DEH中，$\begin{cases}\angle GBF=\angle EDH\\BF = DH\\\angle BFG=\angle DHE\end{cases}$，所以△BGF≌△DEH(A.S.A.)，所以BG = DE；
(2)解：连结EG，因为AE = FH，AE = EG，四边形ABCD是菱形，所以AG = EG，又因为EG = FH，EH = FH，所以EH = FG，所以四边形EFGH是平行四边形，因为EG = FH = 2，所以AB = 2，所以菱形ABCD的周长为8.