《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM = DN，连结AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是 （ ）

A. OM = $\frac{1}{2}$AC
B. MB = MO
C. BD⊥AC
D. ∠AMB = ∠CND

答案： A

10.（雅安中考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________.

答案： $3\sqrt{2}$

11.（雅安中考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F.
（1）求证：FA = BD；
（2）连结BF，若AB = AC，求证：四边形ADBF是矩形.

答案： 证明:
(1)
∵AF//BC,
∴∠AFE = ∠DCE,∠FAE = ∠CDE.又
∵E为AD的中点,AE = DE,
∴△AEF≌△DEC(A.A.S.),AF = DC.
(2)连接DF,
∵BD = CD,AF = DC,AF//DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB = AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,即:在□ ADCF中,有一个角为直角,
∴□ ADCF是矩形.
(3)在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3,S_{矩形ADCF}=DC×AD = 3×4 = 12,S_{△BCD}=$\frac{1}{2}$×6×4 = 6,S_{梯形ABCF}=S_{矩形ADCF}+S_{△BCD}=18.
(4)当点O运动到AC中点时,AO = CO.又
∵EO = FO,
∴四边形AECF是平行四边形.又
∵EC⊥EF,即有一个角为直角,
∴□ AECF是矩形.
(5)在Rt△CEF中,由勾股定理得:EF = $\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$=$\sqrt{12^{2}+5^{2}}$=13,
∵OE = OF,
∴OC = $\frac{1}{2}$EF = 6.5,S_{□ AECF}=EF×OC = 13×6.5 = 84.5

12.（云南中考）如图，在□ABCD中，连结BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连结AF，∠BDF = 90°.
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD = 5，DF = 3，求四边形ABCF的面积S.

答案：

13. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN//BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：OE = OF；
（2）若CE = 12，CF = 5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵CE,CF分别平分∠2,∠3,
∴∠4 + ∠6 = ∠5 + ∠6 = 90°.
(3)解:当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由:当点O为AC的中点时,AO = CO.又
∵EO = FO,
∴四边形AECF是平行四边形.又
∵∠ECF = 90°,
∴四边形AECF是矩形.