《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以斜边AB，直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BFGC. 若正方形ABDE的面积为36，AC=5，则正方形BFGC的面积为 （ ）


A. $\sqrt{11}$
B. 11
C. $\sqrt{31}$
D. 31

答案： B

10.（方城县月考）如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是 （ ）


A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D

11.（内江中考）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为____________.

答案： $12 - 4\sqrt{3}$

12.（德阳中考）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD＞OC. 在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到D₁OE₁的位置，使OD₁//AC，如图2.
（1）求α的值；
（2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E₂处，点D落在点D₂处，设E₂D₂交OD₁于点G，OE₁交AC于点H，若点G是E₂D₂的中点，试判断四边形OHE₂G的形状，并说明理由.

答案： 解：
(1)由题意得，∠AOD₁=α.
∵OD₁//AC，
∴∠A = ∠AOD₁=30°，
∴∠AOD₁=α = 30°；
(2)四边形OE₂G是正方形. 理由如下：
∵E₂D₂//AC，OD₂ = OE₂，点G是E₂D₂的中点，
∴E₂G = OG，E₂G⊥OG.
∵OD₁//AC，
∴∠GOH = ∠AHO = 90°，∠OGE₂ = ∠E₂AG = 90°，
∴四边形OE₂G是矩形. 又
∵E₂G = OG，
∴四边形OE₂G是正方形.

13. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.

答案： 证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO = CO. 又
∵AE//CF，
∴∠OAE = ∠OCF. 又OE⊥AC即DB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)
∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC = 60°.
∵EO⊥AC，
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC = 30°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠ADO = ∠EAD + ∠AED.
∵∠AED = 45°，∠AEO = 30°，
∴∠EAD = 15°，
∴∠BAD = 30°，
∴四边形ABCD是正方形.

14. 已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F.
（1）如图1，求证：AE=EF；
（2）如图2，当AB=2，点E是边BC的中点时，请直接写出CF的长.

答案：
(1)证明：在AB上截取BM = BE，连结ME.
∵∠B = 90°，
∴∠BME = ∠BEM = 45°，
∴∠AME = 135°=∠ECF.
∵AB = BC，BM = BE，
∴AM = EC.
∵∠B = 90°，AE⊥EF，
∴∠MAE = ∠CEF，在△AME和△ECF中，$\begin{cases}AM=EC\\\angle MAE=\angle CEF\\\angle AME=\angle ECF\end{cases}$，
∴△AME≌△ECF(A.S.A.)，
∴AE = EF；
(2)解：$CF=\sqrt{2}$.