《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

9. 如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC=MD=AD，则∠AMB的度数为（ ）


A. 120°
B. 135°
C. 145°
D. 150°

答案： D

10.（朝天区期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（ ）


A. 10°
B. 15°
C. 22.5°
D. 30°

答案： B

11.（宜宾中考）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连结AM并延长交CD于点P。若PM=PC，则AM的长为（ ）


A. 3($\sqrt{3}$ - 1)
B. 3(3$\sqrt{3}$ - 2)
C. 6($\sqrt{3}$ - 1)
D. 6(3$\sqrt{3}$ - 2)

答案： C

12.（青川县期末）在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC，BD相交于点G，过点A作AE//DB交CB的延长线于点E，过点B作BF//CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H。
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）求证：四边形AHBG是菱形；
（3）若AB=BC，求证：四边形AHBG是正方形。

答案： 证明：
(1)
∵$AB = BA$，$AC = BD$，${Rt}\triangle ABC\cong{Rt}\triangle BAD(H.L.)$；
(2)
∵$AH// GB$，$BH// GA$，
∴四边形$AHBG$是平行四边形。又
∵$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，
∴$\angle BAC=\angle ABD$，
∴$AC = BD$，$\angle BAG=\angle ABG$，
∴$GA = GB$，
∴四边形$AHBG$是菱形；
(3)
∵$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等腰直角三角形，
∴$\angle BAG = 45^{\circ}$。又
∵$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，$\angle ABD=\angle BAG = 45^{\circ}$，$\angle AGB = 90^{\circ}$，
∴四边形$AHBG$是正方形。

13.（朝天区期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG。
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=$\sqrt{2}$，求CG的长度；
（3）线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数。

答案：
(1)证明：作$EP\perp CD$于$P$，$EQ\perp BC$于$Q$。
∵$\angle DCA=\angle BCA = 45^{\circ}$，$EQ = EP$。
∵$\angle QEF+\angle FEC = 45^{\circ}$，$\angle PED+\angle FEC = 45^{\circ}$，
∴$\angle QEF=\angle PED$，在$\triangle EQF$和$\triangle EPD$中，$\begin{cases}\angle QEF=\angle PED\\EQ = EP\\\angle EQF=\angle EPD\end{cases}$，
∴$\triangle EQF\cong\triangle EPD(A.A.S.)$，
∴$EF = ED$，矩形$DEFG$是正方形；
(2)解：在${Rt}\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$。
∵$EC=\sqrt{2}$，
∴$AE = CE$，点$F$与$C$重合，此时$\triangle DCG$是等腰直角三角形，易知$CG=\sqrt{2}$；
(3)解：①当$DE$与$AD$的夹角为$30^{\circ}$时，点$F$在$BC$边上，$\angle ADE = 30^{\circ}$，则$\angle CDE = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。在四边形$CDEF$中，由四边形内角和定理得：$\angle EFC = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$；②当$DE$与$DC$的夹角为$30^{\circ}$时，点$F$在$BC$的延长线上，$\angle CDE = 30^{\circ}$。
∵$\angle HCF=\angle DEF = 90^{\circ}$，$\angle CHF=\angle EHD$，
∴$\angle EFC=\angle CDE = 30^{\circ}$。综上所述，$\angle EFC$为$120^{\circ}$或$30^{\circ}$。