《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

10. 如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE = $\frac{1}{2}$BC，连结DE，CF.
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB = 4，AD = 6，∠B = 60°，求DE的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD = BC.
∵F是AD的中点,
∴FD = $\frac{1}{2}$AD.
∵CE = $\frac{1}{2}$AD，
∴FD = CE.
∵FD//CE,
∴四边形CEDF是平行四边形;
(2)解:过D点作DG⊥BE于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCG = ∠B = 60°,CD = AB = 4.
∴∠CDG = 30°,
∴CG = 2,
∴DG = 2$\sqrt{3}$.
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴CE = DF = $\frac{1}{2}$AD = 3,
∴GE = 3 - 2 = 1,
∴DE = $\sqrt{(2\sqrt{3})² + 1²}$ = $\sqrt{13}$.

11. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.


A. 3个
B. 4个
C. 1个
D. 2个

答案： A

12. 如图，在□ABCD中，MN//AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P、Q，求证：MP = NQ.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//ND,MD//BC.又
∵MN//AC,
∴四边形ACQM和四边形ACNP是平行四边形,
∴AC = PN,AC = MQ,
∴MQ - PQ = PN - PQ,即MP = NQ.

13. 如图，在□ABCD中，∠C和∠D的平分线交于点M，DM的延长线交BC于点E，试猜想：
（1）CM与DE的位置关系；
（2）M在DE的什么位置上？试说明理由；
（3）若DE = 24，CM = 5，则点M到BC的距离是多少？

答案：
(1)CM⊥DE.理由:
∵AD//BC,∠ADC + ∠BCD = 180°.DE、CM分别平分∠ADC、∠BCD,
∴∠MDC = $\frac{1}{2}$∠ADC,∠DCM = $\frac{1}{2}$∠DCB,
∴∠MDC + ∠MCD = 90°,
∴∠DMC = 90°,即CM⊥DE;
(2)M在DE的中点处.理由:
∵AD//BC,CM⊥DE,
∴∠ADE = ∠CEM.又
∵∠ADE = ∠CDE,
∴∠CDE = ∠CED,
∴CD = CE.
∵CM⊥DE,
∴EM = MD,即M在DE的中点处;
(3)M到CD的距离是$\frac{12×5}{13}$ = $\frac{60}{13}$.理由:
∵CE = 12,ME = MD = 5,
∴DE = 10,
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD = $\sqrt{12² + 5²}$ = 13.设M到CD的距离为h，根据三角形面积公式可得$\frac{1}{2}$×CD×h = $\frac{1}{2}$×DE×CM，即$\frac{1}{2}$×13×h = $\frac{1}{2}$×10×12，解得h = $\frac{60}{13}$.

14. 如图，E是□ABCD内一点，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED = 135°.
（1）求证：∠ADE = ∠ABE；
（2）求∠EAB的度数；
（3）求证：EB = BC；
（4）AB - DE与AE的数量关系为__________（直接写出结果）.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥CD,EB⊥CB,
∴∠EDC = ∠EBC = 90°.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠ADC = ∠ABC,
∴∠ADC - ∠EDC = ∠ABC - ∠EBC,即∠ADE = ∠ABE;
(2)解:延长DE交AB于F，因为DE⊥CD，DC//AB，所以DE⊥AB，∠AFE = ∠AED = 90°;
(3)证明:在△AEF和△DFA中，∠AFE = ∠DAF = 90°，∠AEF = ∠DFA，AF = AF，
∴△AEF≌△DFA(A.A.S.),
∴AE = DF,EF = FA.又因为四边形ABCD是平行四边形，AB = CD,所以AB - AF = CD - DF,即FB = CE.在△BEF和△EAD中，∠BFE = ∠EAD = 90°，∠BEF = ∠AED，FB = CE = AD，
∴△BEF≌△EAD(A.A.S.),
∴BE = AD;
(4)解:AE = $\sqrt{2}$,BE = AD,在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB = $\sqrt{AE² + BE²}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})² + AD²}$.