《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

8.一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a² + b² + c² + d² = 2ac + 2bd，这个四边形是____________.

答案： 平行四边形

9.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是(-2,4)，(-3,-1)，(1,-1)，在x轴上方找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是____________.

答案： (2,4)或(-6,4)

10.如图，平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连结EF，FG，HG，EH.求证：四边形EFGH是平行四边形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD ，∠A = ∠C ，∠B = ∠D ．
∵DH = BF ，AE = CG ，AH = CF ，DG。在△AEH和△CGF中 ，
∵AH = CF ，∠A = ∠C ，AE = CG ，
∴△AEH≌△CGF(S.A.S.) ，
∴EH = FG 。同理可证EF = HG ，
∴四边形EFGH是平行四边形．

11.（广安中考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF=CE，∠BAC=∠DCA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案： 证明：
∵AF = CE，
∴AF - EF = CE - EF，即AE = CF 。又
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB = ∠CFD = 90° 。在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle DCF, \\AE = CF, \\\angle AEB=\angle CFD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.)，
∴AB = CD 。又
∵∠BAC = ∠DAC，
∴AB//CD 。
∴四边形ABCD是平行四边形．

12.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.求证：
(1)AC=EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形.

答案： 证明：
(1)在Rt△ABC中 ，
∵∠BAC = 30°，
∴AB = 2BC 。又
∵△ABE是等边三角形 ，EF⊥AB ，
∴AB = 2AF ，
∴AF = BC 。在Rt△AFE和Rt△BCA中，$\begin{cases}AF = BC, \\AE = BA,\end{cases}$Rt△AFE≌Rt△BCA(H.L.)，
∴AC = EF ；
(2)设E以6cm/s的速度由A向C运动x秒后，四边形ABQP是平行四边形，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AQ = BP，
∴6x = 12 - 2x，解得x = $\frac{3}{2}$。设Q以2cm/s的速度由C向D运动y秒后，四边形PQCD是平行四边形，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD = CQ，
∴8 - y = 2y，解得y = $\frac{8}{3}$。
∴$\frac{8}{3}$秒后，四边形PQCD是平行四边形。

13.在四边形ABCD中，AD//BC，且AD = 8 cm，BC=6 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动.
(1)几秒后，四边形ABQP是平行四边形?
(2)几秒后，四边形PQCD是平行四边形?

答案： 设E以6cm/s的速度由A向C运动x秒后，四边形ABQP是平行四边形，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AQ = BP，
∴6x = 12 - 2x，解得x = $\frac{3}{2}$。设Q以2cm/s的速度由C向D运动y秒后，四边形PQCD是平行四边形，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD = CQ，
∴8 - y = 2y，解得y = $\frac{8}{3}$。
∴$\frac{8}{3}$秒后，四边形PQCD是平行四边形。