《2025年智慧学堂八年级数学下册华师大版》

1.下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A. 对角线互相垂直
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直平分
D. 对角线互相垂直且相等

答案： C

2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AC=6，BD=8，当AB=________时，四边形ABCD是菱形.

答案： 5

3.如图，在□ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∵DE = BF，
∴AD - DE = BC - BF，即AE = FC.
∵AE//FC，
∴四边形AECF是平行四边形. 又
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.

4.（青川县期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AC，BD相交于点O，且O是BD的中点.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=8，求四边形ABCD的周长.

答案：
(1)证明：
∵AB//CD，∠AOB = ∠COD，OA = OC，OB = OD，
∴△AOB≌△COD，
∴AB = CD. 又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长 = 4×AB = 32.

5. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC. 若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为________.

答案： $\frac{5}{3}$

6.（凉山州中考）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=10，AC=16，求OE的长.

答案：
(1)证明：
∵∠CAB = ∠ACB，
∴AB = CB，
∴□ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
(2)解：由
(1)可知，□ABCD是菱形，
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 8，AC⊥BD，
∴∠AOB = ∠BOE = 90°，
∴OB = $\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-8^{2}}$ = 6.
∵BE⊥AB，
∴∠EBA = 90°，设OE = x，在Rt△ABE中，BE²=(8 + x)² - 10²，在Rt△BOE中，BE²=x² + 6²，
∴(8 + x)² - 10²=x² + 6²，16x = 72，x = $\frac{9}{2}$，即OE的长为$\frac{9}{2}$.

7.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm，点E在线段BO上从点B向点O以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O向点D以2 cm/s的速度运动.
（1）若点E，F同时运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形？

答案： 解：
(1)若四边形AECF是平行四边形，则AO = CO，OE = OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO = OD = 6 cm.
∵OE=(6 - t)cm，OF = 2t cm，
∴6 - t = 2t，
∴t = 2，当t = 2时，四边形AECF是平行四边形；
(2)若四边形AECF是菱形，则AC⊥BD，
∴AO² + BO² = AB²，
∴AB = $\sqrt{9 + 36}$ = 3$\sqrt{5}$ cm，即当AB = 3$\sqrt{5}$ cm时，四边形AECF是菱形.