《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. 新理念 综合实践试题 (10分) 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线$l$上，过两个锐角顶点分别向直线$l$作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形。由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这个模型在数学解题中被广泛使用。
【模型应用】
(1) 如图②，在平面直角坐标系中，直线$y = x - 4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点。
①$\angle OAB=$____；
②$C$，$D$是正比例函数$y = kx$图象上的两个动点，连接$AD$，$BC$，若$BC\perp CD$，$BC = 3$，则$AD$的最小值是____；
(2) 如图③，一次函数$y = - 2x + 2$的图象与$y$轴、$x$轴分别交于$A$，$B$两点。将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转45°得到直线$l$，求直线$l$对应的函数表达式；
【模型拓展】
(3) 如图④，点$A$在$x$轴负半轴上，$OA = 8$，过点$A$作$AB\perp x$轴，交直线$y = - 2x - 3$于点$B$，$P$是直线$y = - 2x - 3$上的动点，$Q$是$y$轴上的动点，若$\triangle APQ$是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点$P$的坐标。

答案：
解：
(1)①$45^{\circ}$. ②$\sqrt{7}$.
(2)如图③，过点$B$作$BC \perp AB$交直线$l$于点$C$，过点$C$作$DC \perp x$轴.
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$.
$\because \angle BAC = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA = 90^{\circ} - \angle BAC = 45^{\circ}$.
$\therefore \angle BAC = \angle BCA$.
$\therefore AB = BC$.
$\because \angle ABC = \angle AOB = \angle BDC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle OAB + \angle ABO = 90^{\circ}$，
$\angle CBD + \angle ABO = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle OAB = \angle CBD$.
$\because AB = BC$，
$\angle AOB = \angle BDC = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle BDC$.
$\therefore AO = BD$，$OB = CD$.
当$x = 0$时，$y = -2x + 2 = 2$，
$\therefore AO = BD = 2$.
当$y = 0$时，$0 = -2x + 2$，$x = 1$，
$\therefore OB = CD = 1$.
$\therefore C(3,1)$.
设直线$l$对应的函数表达式为$y = kx + b$.
将$C(3,1)$和$A(0,2)$代入，得$\begin{cases}b = 2,\\ 3k + b = 1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{3},\\ b = 2.\end{cases}$
$\therefore y = -\frac{1}{3}x + 2$.

(3)点$P$的坐标为$(-1,-1)$或$(-3,3)$或$(-11,19)$或$(\frac{5}{3},-\frac{19}{3})$.